研究生随机微分方程课程的教学探索

杨晓丽++张丽

【摘要】研究生教育处于整个教育链的最顶端，如何做好研究生教学工作对教育强国具有至关重要的作用。鉴于此，本文对研究生课程随机微分方程稳定性的教学方法和教学目的进行分析探索，提出研究生教学工作既要传授本学科坚实的基础理论和系统的专业知识、又要培养学生的科学研究能力和创新精神。

【关键词】随机微分方程 随机稳定性 教学探索

【中图分类号】O211.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0112-02

系统随着时间的演化规律可以用微分方程来描述。随机噪声无处不在，它广泛存在自然科学、社会科学及工程领域。科学发展驱动微分方程和随机过程相结合而形成一个新的数学分支——随机微分方程。随机微分方程的稳定性分析不仅有着深刻的理论意义，还具有潜在应用价值，它广泛应用于经济金融、非线性科学、航空航天、控制科学、物理学、生物学、网络科学等领域。关于随机微分方程的稳定性已经有一些成熟的理论和方法，感兴趣的读者可以参考专著[1]。常见的随机微分方程的稳定性定义有随机稳定性及随机渐近稳定性、P阶矩稳定性及P阶矩渐近稳定性、P阶矩指数稳定性及P阶矩全局指数稳定性、几乎必然稳定性等。

在随机微分方程的教学过程中，教师不仅传授给本学科的背景、坚实的基础理论和系统的专业知识，更要结合所从事的研究领域，更要引导学生，如何利用专业基础知识，逐步开展创新性的科研工作。接下来说明如何结合随机微分方程稳定性的相关理论知识，展开复杂网络同步动力学领域的科学研究工作。事实上，随着网络科学的兴起，复杂网络正在成为描述、研究复杂体系的最合适模型。同步是复杂网络集群动力学的一种表现形式，它可以是系统输出轨道的步调一致，也可以是系统之间相位的锁定。复杂网络的动力学演化规律可以由高维的随机微分方程控制，从而随机微分方程零解的稳定性分析在复杂网络的同步研究中具有重要的应用。具体地，我们阐述随机时滞微分方程的LaSalle型不变性定理在耦合网络同步研究中的应用。

首先系统讲解LaSalle型不变性定理的相关理论知识和该定理使用条件。

对于n维泛函随机微分方程：

dx（t）=f（x（t），x（t-■），t）dt+g（x（t），x（t-■），t）dw（t）. （1）

其中f：Rn×Rn×R+→Rn，g：Rn×Rn×R+→Rnxm，f和g满足局部Lipschitz条件和线性增长条件，w（t）=（w1（t），w2（t），…，wm（t））T∈Rm是标准布朗运动，则给定初值{x（？兹）：-■≤？兹≤0}=ξ∈■（[-■，0]；Rn），系统（1）在t≥-■上存在唯一的连续解，且对于任意给定的p>0，有E■<∞对任意T>0成立。

引理[2]（随机时滞微分方程LaSalle型不变性定理） 假设系统（1）满足局部Lipschitz条件和线性增长条件，且存在函数V∈■2，1（Rn×R+；R+），？酌∈？詛1（R+；R+）以及ω1，ω2∈■（Rn；R+）满足：（i）对任意的（x，y，t）∈Rn×Rn×R+，成立？詛V（x，y，t）≤？酌（t）-ω1（x）+ω2（y）.

则对任意初值？孜∈■（[-■，0]；Rn），系统（1）的零解为几乎必然渐近稳定的，即■x（t；？孜）=0。

进一步引入耦合网络模型，并阐述耦合网络的演化方程与随机微分方程、耦合网络同步与随机微分方程零解稳定性之间的内在联系，引导学生利用专业理论知识进行科学研究。

Ui（t）∈Rn（i=1，2，…，N）是待定的控制函数。耦合网络（2）在合适的控制函数作用下，将达到完全同步，具体如下：

定理 对于耦合网络模型，如果采用下面的控制器和更新规则

Ui（t）=-ki（t）ei（t）-g（yi（t））+f（xi（t））-G（yi（t））■+F（xi（t））■+■（cij-dij）Qxj（t-■（t））. （2）

其中ki（t）是反馈强度，更新增益？姿为任意正常数，■和■是分别是未知参数？琢和？茁的估计，r1、r2>0，则耦合网络在几乎必然渐近稳定性意义可以达到同步。

若定义误差状态变量ei（t）=yi（t）-xi（t），i=1，2，…，N，

则误差系统可以表示为

dei（t）=[-ki（t）ei（t）-F（xi（t））（？琢-■）+G（yi（t））（？茁-■）+■dijQej（t-■（t））]dt+Hidw（t），i=1，2，…，N， （3）

显然，该误差系统是形如方程（1）随机时滞微分方程，根据随机时滞微分方程LaSalle型不变性定理，可以证明误差方程（3）的零解是几乎必然渐近稳定的，从而耦合网络在几乎必然渐近稳定性意义下达到完全同步。鉴于篇幅，具体过程略。

本文以随机时滞微分方程的LaSalle型不变性定理在耦合网络同步研究中的应用为案例，说明随机微分方程教学中不仅要讲授专业的理论基础知识，更要引导学生，如何利用专业基础知识，逐步开展创新性的科研工作，这为研究生利用本学科的专业知识进行科学研究和创新起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1]胡适耕，黄乘明，吴付科.随机微分方程. 北京： 科学出版社， 2008.

[2]X.R.Mao.A note on the LaSalle-type theorems for stochastic differential delay equation. J. Math. Appl.， 2002， 268 （1）： 125-142.

作者简介：

杨晓丽（1979-），女，汉族，博士，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授，研究方向：随机动力系统。