基于高观念背景下的高考数学命题解析

陈传芳

摘要：高考数学试题的命题试图借助高观点考察学生的潜能力。本文旨在解析高等数学背景下的高考数学命题趋势。

关键词：高等数学;函数;研究

通过对近年高考试题的探究，不难发现高等数学背景下的高考数学有以下趋势：

趋势1：涉及的问题往往是数学的某一分支学科发展初期比较核心的问题或某一分支中比较著名的问题， 这些问题能够反映该分支的思想或方法;

趋势2：将高等数学中与初等数学比较靠近的内容（ 如凸凹性、不动点原理、压缩映象原理等）直接和间接以定理的形式给出，考查学生转换（化归、迁移）问题的能力。

趋势3：作为数学核心概念及基本思想和技能的内容： 函数、统计、导数、向量、逼近、算法、图论初步、矩阵与变换等内容和反映数学文化及对数学发展起重大作用的数学名题仍会是出题的热点。

一、以函数知识为载体，研究函数的各类性质

题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。

（一）函数图象的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1， x2和任意的实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凸函数。反之，如果总有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），称f为I上的凹函数。

例1.在中，当x1>x2>1时，使  成立的函数是（    ）

（二）新概念、新运算

1.改编高等数学题

把高等数学中原来问题的条件或结论加以改造（强化、弱化或等价转化），变换形式，改变提法，从而做初等化处理，使之可用初等数学方法解决。

2.从高等数学的定理出发来改编（降维）

把高等数学中一般性的定理等，用特殊化方法转化成初等数学问题，揭示了问题的本质及变化规律。

3.引入有高等数学背景的新概念

命题中引进了中学数学中未曾见过的一些“新概念”，这些新概念有着高等数学的背景，而且能够为考生感性上所理解和接受，对综合考查学生进一步深造的潜能有着不可低估的作用。

例2.中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等。如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a∈A，都有a ～ a;

（2）对称性：对于a，b∈A，若a ～ b，则有b ～ a;

（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a ～ b，b ～ c，则有a ～ c;

则称“～”是集合A的一个等价关系。例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系：                          .

（三）拉格朗日中值定理

1.定理：若函数f满足如下条件（i）f在闭区间[a，b]上连续;

（ii）f在开区间（a，b）上可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具。近年来，不少高考压轴题以导数命题，固然这些压轴题用初等数学的方法也可以求解，但初等数学的方法往往计算量较大。

2.应用题型：

● 证明类似

● 证明类似

● 证明类似

例题4.设函数，如果对任何x≥0都有f（x）≤ax成立，求a的范围。

二、以构造函数为方法，研究不等式

不等式的证明问题是高考的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法。通过构造辅助函数利用导数证明问题，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题。

（一）构造形似函数型

对证明形如f（x）≧g（x）（a≦x≦b）的不等式构造形如F（x）=f（x）-g（x）的函数，并通过一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。

（二）作辅助函数型：对含有两个变量的不等式，可构造出以其中一个变量为为自变量的函数，再采用上述方法证明不等式。

（三）对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

例题5. f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

A af （b）≤bf （a）  B bf （a）≤af （b）  C af （a）≤f （b）  D bf （b）≤f （a）

三、以数列知识为依托，利用“不动点”求数列通项公式

由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，因此我们可以利用对函数“不动点”问题，来简化对数列通项问题的探究。

（一）不动点：一般的，设 f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使 f（x0） = x0成立，则称x0为f（x）的不动点。

（二）线性递推数列的通项

若f（x）=ax+b，p是f（x）的不动点，an满足递推关系式an= f（an-1），（n>1）则{an-p}是以a为公比的等比数列。

（三）求非线性递推数列的通项

若， an满足递推关系式an=f（an-1）， （n>1）初值条件a1≠ f（a1）

（1）若f（x）有两个相异的不动点p、q，

则

（2）若f（x）有唯一的不动点p，

则

例题6.已知数列{an}，，求数列{an}的通项公式。

利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上二种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述。

因为高考命题专家以大学教授为主，而且这种高等数学背景下的高考题目体现了一定的公平性，所以，以高等数学为背景仍然将是今后几年高考出题的热点。