大学物理中矢量积分的计算方法

陈春彩，余小刚，杨 芳

（闽南理工学院基础部，福建石狮362700）

大学物理中矢量积分的计算方法

陈春彩，余小刚，杨 芳

（闽南理工学院基础部，福建石狮362700）

矢量积分在大学物理中有着非常广泛的应用。在教学实践中发现，学生普遍难以掌握矢量积分的计算。因此，本文归纳总结了大学物理中常见的矢量积分的种类，并给出了矢量积分计算的一般方法，有助于学生更好的理解和掌握矢量积分的计算方法。

大学物理；矢量积分；标量积分；计算方法

在大学物理的学习中，矢量积分随处可见。从质点运动学到质点动力学，从刚体力学到电磁学，都离不开矢量积分的应用。但在高等数学的教学中，只是注重介绍矢量的点乘、叉乘和混合乘法计算，而没有明确积分的物理意义和矢量的微积分运算，所以在大学物理的学习中，很多学生难以掌握矢量积分的意义，并且对矢量积分的计算有所畏惧，随之也就觉得物理很难学了。因此，掌握矢量积分的计算，有利于大学物理课程的学习[1-2]。

1 矢量积分的分类

大学物理中常见的矢量积分主要可以分为以下四类：

(1)一般矢量积分：被积函数是矢量，而被积表达式是矢量和标量的乘积，积分计算所得结果是矢?运动方程冲量，电场强度等。这类矢量积分常见于运动学和动力学以及电场强度的计算中，也是最简单的一种矢量积分。

(2)矢量点乘积分：被积函数是矢量，且被积表达式是两个矢量的点乘，积分计算所得结果是标量的积分运算。例如变力做功W=∫lF·dr,电势V= ∫lE·dl,电通量φe=∫SE·dS,磁通量φm= ∫SB·dS等。这类矢量积分主要用于计算变力做功，电势，电通量，磁通量的求解等问题中。

(3)矢量叉乘积分：被积函数是矢量，且被积表达式是两个矢量的叉乘，积分计算所得结果是矢量的积分运算。例如磁感应强度安培力

(4)矢量混合乘法积分：被积表达式是矢量点乘和叉乘的混合运算。例如动生电动势ε= ∫l(υ×B)·dl。

2 矢量积分的计算方法

在教学实践中发现，学生普遍难以掌握矢量积分计算的主要原因是没有掌握矢量积分计算的根本原则。矢量积分计算的根本原则是将矢量积分转化为标量积分，而把矢量积分化成标量积分的方法主要有两种：

方法一：根据矢量的计算法则直接将矢量积分化成标量积分进行计算；

方法二：将被积分函数进行正交分解，然后在两个正交的方向上分别进行标量积分计算，最后将两个正交方向上的标量积分结果进行矢量合成。

矢量既有大小又有方向。一组矢量累积求和时，如果所有矢量的方向都相同，则可以直接对改组矢量的大小进行累积求和，方向取共同方向；如果所有矢量的方向不全相同，则可将该组所有的矢量进行正交分解，然后在两个正交的方向上分别进行标量累积求和，最后对两个正交方向上的结果进行矢量叠加。积分的本质是微元的累积求和，矢量积分的实质就是矢量微元的累积求和。因此，进行矢量积分时，可参照以下步骤：

(1)判断矢量微元的方向是否一致；

(2)如果矢量微元的方向一致，则选用方法一进行计算；

(3)如果矢量微元的方向不一致，则选用方法二进行计算。

判断矢量微元方向是否一致，可以在几个不同的位置取几个不同的微元，然后对被积表达式的方向进行判断。若方向一致，则可说明矢量微元的方向一致；若方向不全相同，则可说明矢量微元的方向不全相同。

3 矢量积分应用举例

【例题1】一质点的恒定加速度a=6ti+4j。t=0时其速度为零。求该质点任意时刻的速度。

这类矢量积分是最简单的一类，其被积函数已经是正交分解的形式，因此可以选用方法一直接进行积分计算，也可以选用方法二，先分别在x、y方向上积分后再写成矢量的形式，即：

【例题2】如图1所示，正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线上任意一点P的电场强度。

图1 带电圆环轴线上的电场强度

解析：选取如图所示微元dl，电荷元dq=λdl，其中电荷的线密度

其中r2=x2+R2，单位方向矢量er的方向沿r指向P点。

首先根据步骤(1)判断矢量微元的方向是否统一：分别在不同的两点A、B选择线元。如图1所示，选择不同的线元后得到的矢量微元dE的方向是不同的。因此，可以判断矢量微元的方向不统一；然后根据步骤(3)选择方法二进行正交分解后再分别积分计算：如图1所示，正交分解：dE=dE⊥e⊥+dExi

方向：沿x轴正方向。

【例题3】质量为m的物理在质量为M物体的引力作用下从A点沿如图所示轨迹运动到B点，求该引力所做的功。

图2 引力从A到B做功

解析：物体m所受到的引力为：

如图2所示，引力所做的功：

首先根据步骤(1)判断矢量微元的方向是否统一：由图可知，在任意两个不同的地方分别取位移元dr后，引力F和位移元dr之间的夹角θ不相等，由此可知，根据步骤(3)选择方法二进行正交分解后再分别积分计算比较简便。

正交分解：dW=dWτ+dWr

【例题4】无限长直导线通有电流I1，在同一平面内有长为L的直导线通有电流I2，如图3所示。长为L的直导线与x轴的夹角为α，其下端距无限长直导线r，求长为L的直导线所受的安培力。

图3 长直导线所受的安培力

解析：在长为L的直导线上距

下端为l处任选一电流元I2dl。

I1在该电流元处激发的磁场为：

方向垂直纸面向里。

则直导线所受到的安培力为：

首先根据步骤(1)判断矢量微元的方向是否统一：分别在不同的两点A、B选择线元。如图3所示，选择不同的线元后得到的矢量微元的方向是相同的，都垂直于L向上。因此，可以判断矢量微元统一；然后根据步骤(2)选择方法一将矢量积分化成标量积分进行计算：

方向：垂直于L向上。

【例题5】求无限长载流直导线的磁场中任意点P的磁感强度，已知点P与导线的距离为r0，导线中的电流为I。

图4 无限长载流直导线的磁感强度

解析：建立如图4所示坐标系，在导线上距原点O为y处任选一电流元Idy,根据比-萨定律，其在P点磁感强为：

首先根据步骤(1)判断矢量微元的方向是否统一：分别在不同的两点A、O选择线元。如图4所示，选择不同的线元后得到的矢量微元dB的方向都是相同的，方向沿Z轴负方向。因此，可以判断矢量微元的方向统一；

然后根据步骤(2)选择方法一根据矢量计算法则直接将矢量积分化成标量积分进行计算：

由图可知，在不同的位置选择线元，位置矢量的大小和夹角θ都不相同，所以此处的r和θ都是变量。且根据几何知识可得：

4 总结

矢量微积分在大学物理中有着非常广泛的应用，因此正确解答矢量积分运算是学好大学物理的基础。矢量积分计算的关键是将矢量积分转化为标量积分。本文的主要特色有两点：

第一，对大学物理中常见的矢量积分进行了分类，便于学生学习和掌握；

第二，给出了将矢量积分转化为标量积分的通用方法和基本步骤，并借助五个典型的例题详细介绍了该方法的具体应用。相对于其他矢量积分的方法[2-6]来说，本文给出的方法紧扣矢量积分计算的关键因素，浅显易懂，计算过程简单快捷，且通用性更强。经过教学实践证明，学生更容易理解并掌握这种矢量积分的方法。

[1]马新泽.浅析大学物理中的微积分教学[J].昌吉学院学报,2009（2）：111-114.

[2]秦朝峰.电磁学中矢量点叉积的积分运算[J].物理通报,2014（1）：23-26.

[3]马文蔚,周雨青.物理学教程(第二版)上册[M].北京：高等教育出版社,2006：57-59.

[4]马文蔚,周雨青.物理学教程(第二版)下册[M].北京：高等教育出版社,2006：81-83.

[5]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程：力学[M].北京：高等教育出版社,1997：114-122.

[6]梁灿彬.普通物理学教程：电磁学(第二版)[M].北京：高等教育出版社,2004：227-243.

〔责任编辑 高彩云〕

Calculation Methods of Vector Integral in College Physics

CHEN Chun-cai,YU Xiao-gang,YANG Fang
（Department of Basic Science,Minnan University of Science and Technology,Shishi Fujian,362700）

There is widespread application of the vector integral in college physics.During the teaching practice,it found that the calculation of vector integral is difficult to be grasped by students.Therefore,the common types of vector integral of the college physics are summarized in this paper.And this paper has also given the general method of vector integral,which can help students to understand and grasp the calculation method of vector integral.

college physics;vector integral;scalar integral;calculation method

O411.1

A

1674-0874(2016)03-0033-03

2016-01-20

闽南理工学院教学改革与研究项目资助[2015B24]

陈春彩（1986-）,女，福建泉州人，硕士，讲师，研究方向：大学物理教育。