一类非线性Schrödinger-Kirchhoff系统基态解的存在性

吴晓蕾

（吕梁学院数学系，山西离石033000）

一类非线性Schrödinger-Kirchhoff系统基态解的存在性

吴晓蕾

（吕梁学院数学系，山西离石033000）

文章主要利用变分方法讨论带有周期位势V(x)，但不含(AR)条件的Schrödinger-Kirchhoff型方程基态解的存在性。

Schrödinger-Kirchhoff型方程;基态解；变分法；临界点

文章主要讨论下面的Schrödinger-Kirchhoff型方程

在(1)中，若V(x)=0，则对应的方程为kirchhoff型方程；若b=0，则对应的方程为Schrödingerpoisson方程。这种类型的方程起源于数学物理现象，且应用十分广泛。例如在研究定波逆射的时候，就涉及到此问题，其中方程的解为相应的扩散反应方程的稳定点，而这种反应扩散方程在化学动态系统现象中也形成了模型。近年来，国内外学者主要研究了这两类方程的超线性及渐进线性问题，周期及非周期性问题，径向对称问题等[1-3]。事实上，研究这类问题难点有两个：一是(ps)序列或(Ce)序列的有界性；二是嵌入的紧性。本篇文章在上述知识的基础上，利用变分方法克服了这两个问题，讨论了(1)的基态解的存在性。

为讨论方便，f∈C(R3,R),f(0)=0，

还需要满足下列假设条件：

对x∈R3,y∈Z3一致成立；

(H3)存在c＞0,p∈(2,4)使得对任意s∈R+,|f(s)|≤c(s+|s|p-1)；

引理1若 {un}⊂M为I的一个(Ce)序列,即(1+||un||)I'(un)→0),而且有I(un)有界,则{}un有下列特点：

1)存在h＞0,limn→i∞n f ||un||≥h；

2){un}⊂M有界；

证明1)由(H2)，(H3)得F(s)≤εs2+Cεsp，则

由于p∈(2,4),ε→0,于是泛函I有下界。即

因此存在h＞0,满足

2)假设{un}无界,令则||wn||=1,存在子列使得在M上，在(2≤p＜6)上,wn→w;几乎处处在R3上wn→w。此时有下列两种可能情形。

情形1：若w≠0，我们有一方面

另一方面，在Ω={x∈R3|w(x)≠0}上

由于|Ω|＞0，利用Fatou引理得

矛盾。

情形2：若w=0，取yn∈Z3，定义

vn=wn(x+yn)，由于V(x)为周期函数,我们有||vn||=||wn||=1，|vn|p=|wn|p，I(vn)=I(wn)，则存在弱收敛的子列{vn} ，在M上，；在上(2≤p＜6),vn→v;几乎处处在R3上vn→v。若存在yn，满足

将会得到与w≠0同样的矛盾。假设存在yn，使，所以对任意p∈(2,4)有

否则，将存在p∈(2,4)，δ＞0,zn∈R3满足

取yn∈B2(zn),B1(yn)⊂B2(yn)，从而，即

而a≥1矛盾，因此{un}有界。

结合1)我们可得到下面矛盾

引理2V满足(V0)，f满足(H2),(H3),则存在r＞0,e∈M,||e||＞r使得

证明由于I(u)有下界，则显然存在b,r有||u||=r}＞I(0)=0。因为由(H2),(H3)得到存在C＞0,任意M＞0有F(s)≥Ms4-Cs2，于是

当M＞0充分大，t→∞时，记e=tu，显然满足||e||＞r且I(e)＜0=I(0)。

由山路定理[4]知，存在（Ce）序列{}un满足

定理1V,f分别满足假设条件(V0),(H2)-(H4),则系统(1)至少存在一个基态能量解。

证明引理1，引理2说明了u为系统(1)的非平凡解，且I(u)≥c，接下来证I(u)=c。结合Fatou引理可得

因此I(u)=c，u为系统(1)一个基态解。

[1]APRILE T D,MUGNAI D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schrödinger-Maxwell equations[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2004(134)：893-906.

[2]COCLITE G M,GEORGIEV V.Solitary waves for Maxwell-Schrodinger equations[J].Differential Equations,2004(94)：1-31.

[3]WU X.Existence of nontrivial solutions and high energy solutions for Schrödiger-Kirchhoff ty-pe equations inRN[J].Nonlinear Anal.2011(12);1278-1287.

[4]王术.Sobolev空间与偏微分方程理论[M].北京：科学出版社,2009.

〔责任编辑 高海〕

Existence of the Ground State Solution for a Class of the Nonlinear Schrödinger-Kirchhoff System

WU Xiao-lei
(Department of Mathematics,Luliang University,Lishi Shanxi,033000)

In this paper,we study existence of the ground state solution for a class of the non-linear Schröddinger-Kirchhoff system with period potentialV(x)and without(AR)condition by variational method.

Schrödinger-kirchhoff system;the ground state solution;variational method;the critical point

O177.91

A

1674-0874(2016)03-0024-03

2016-03-08

吴晓蕾（1987-），女，山西运城人，硕士，助教，研究方向：非线性泛函分析与非线性微分方程。