换还是不换？

刘雨炳

在美国的电视游戏节目lets make a deal中出现了这样一个问题.假如你是参赛者，你被带到三扇门前，在这三扇门后面有两只山羊和一辆小汽车，当你选中有汽车的门后你就可以把汽车开回家.显而易见选中汽车的概率为1/3.可正当你选好一扇门后，知道门背后物品的主持人忽然为你打开了一扇背后一定有山羊的门，并说：“现在我为你排除了一扇门，这两扇门背后是山羊和汽车.我给你一次机会，你可以换另一扇门.你想选择另一扇门吗？”

这里的转换选择会成为优势吗？

多数看过题目的人第一反应是换和不换的概率是一样的，都是1/2.假设这三扇门分别为A、B、C，而你一开始选了A门，主持人在B、C中排除了有羊的B门.A门是汽车的概率为1/3，C门为汽车的概率也是1/3，所以换和不换的中奖概率是一样的，都是1/3.

这样想有一个问题，即忽视了主持人排除山羊的条件.套用上一个想法中的字母，一开始你选了A门，选中汽车的概率为1/3，这没错.此时你没有选中的概率为2/3，而车在B、C门后面的概率就为2/3，此时主持人排除了有山羊的B门，那C门中奖概率就从1/3变到了2/3.

也就是C继承了B的概率，打个比方理解一下.有1 000张彩票中只有1张能中奖.在这1 000中至少有一张中奖的概率就是100%.此时你是第一个兑奖的，那么你中奖的概率只有1/1000，可假设你是最后一个兑奖的，前面有999个人都没有中奖，这相当于排除了999张没有中奖的彩票，剩下一张必定中奖，那么你中奖的概率为100%.

让我们把这个问题套到彩票上.有3张彩票，只有一张能中奖，分给两个人，a分到一张，b分到两张.a中奖概率为1/3，b中奖概率为2/3.然后有人排除了b的一张不能中奖的彩票，那么b手上剩下的一张彩票中奖的概率就为2/3. a和b换彩票a中奖的概率就为2/3.同理，在上面的问题中换门中奖的概率为2/3.

让我们再换一种严谨的方式证明换门的概率为2/3.

还是以ABC命名这三个门.假设A有车，B、C是羊.

第一种：你选了A，主持人任意排除B门或C门，你换门，不中奖；

第二种：你选了B，主持人只能排除C门，你换门，中奖；

第三种：你选了C，主持人只能排除B门，你换门，中奖.

由此可见换门中奖的概率的确为2/3.

虽然2/3这个答案在逻辑上并不矛盾，但却十分违背直觉，科学就是这样有趣.请记住一句话：“概率存在于被给予的条件下，而不能寄托在实际物体上.”

（指导教师：刘 佳）