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分类讨论讲策略 解题之后需反思

2016-11-19许毓桐姜慧玲庞彦福

关键词:竞赛题负数整数

许毓桐 姜慧玲 庞彦福

暑假期间,我在做“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷时遇到一个问题:

方程|x-5|+4|y+2|=10的整数解共有( )。

A.4个 B.8个 C.10个 D.16个

显然,这是一个与二元一次方程的解、绝对值的应用有关的问题,是我们学过的内容。

根据绝对值的意义,可知|x-5|≥0,|y+2|≥0。于是先由|x-5|≥0(x为整数)想到|x-5|的值有11种情况。即|x-5|=0或|x-5|=1或|x-5|=2或|x-5|=3或|x-5|=4或|x-5|=5或|x-5|=6或|x-5|=7或|x-5|=8或|x-5|=9或|x-5|=10。这样就得到x的整数值共有21个。把x所有可能的整数值一个一个找出来后,再分别求出对应的y值,然后结合题目条件排除y的非整数值,就能得到方程的整数解共有10个。

正当我为自己能解决竞赛题而高兴时,突然想到:这又不是后面的大题,怎么可能会如此麻烦呢?难道自己走了弯路吗?还是再检查检查吧。

|x-5|是非负数,|y+2|也是非负数,|x-5|与4|y+2|的和为10,x、y为整数,所以|x-5|的值应该有11种情况,嗯,是做到不重不漏了。而对于4|y+2|,它的值不仅是非负数,而且还应当是整数。噢,知道了!根据题意,不能将4|y+2|分开,而要将其作为一个整体来考虑。

对于式子|x-5|+4|y+2|=10。如果从|x-5|人手,x取整数时,它的值确实有11种情况,得出x的整数值有21个,这虽然是正确的。却并不简捷。如果从4|y+2|开始考虑的话,|x-5|的值的情况就比较少了,从而可以减少解题步骤。y为整数,则4|y+2|的值只能有3种情况,即4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8,从而可以得到y有5个整数值,接下来求出对应的x的整数值,这样既做到了不重不漏,又减少了麻烦。

解:由|x-5|+4|y+2|=10,x,y为整数,可得4|y+2|=0或4|y+2|=4或4|y+2|=8。

当4|y+2|=0时,|x-5|=10。于是解得x=15,y=-2;或X=-5。y=-2。

当4|y+2|=4时,|x-5|=6。于是解得x=11。y=-1;或x=11,y=-3;或x=-1,y=-1;或x=-|,y=-3。

当4|y+2|=8时,|x-5|=2。于是解得x=7,y=-4;或x=7,y=0;或x=3,y=-4;或x=3,y=0。

所以该方程的整数解共有10个。

指导老师点评:学习数学。一定要注重理解。对于所学知识理解了,掌握了,解决问题也就有了方法,有了策略。解题讲究方法与策略。就能减少不必要的麻烦。解题后要多反思,将好的方法借鉴、应用到以后的学习中。解题不仅要保证正确,还要追求简捷。

责任编辑:潘彦坤

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