例说数学思想在高中数学解题中的运用

☉江苏省泰兴市第四高级中学　肖雪平

例说数学思想在高中数学解题中的运用

☉江苏省泰兴市第四高级中学肖雪平

函数是高中数学中的重要内容，高中数学大部分章节都涉及函数或函数思想方法，是高中数学的一条主线.纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”.即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的.熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础.善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.在教学中，若能根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能化难为易，化繁为简，从而优化解题过程，达到培养思维的目的.

一、方程思想

方程思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组；或者运用方程的性质分析、转化，使问题获得解决.

例1已知数列｛an｝满足an+2=an+1-an，a1=1，a2=2，求

解：记f（n）=an，则有f（n+2）=f（n+1）-f（n），对于函数f（x），若有f（x+2）=f（x+1）-f（x），则有f（x+3）=f（x+2）-f（x+ 1），将上面两式相加，则有f（x+3）=-f（x），（*）即有f（x+6）= -f（x+3）=-（-f（x））=f（x），因此可知函数f（x）的周期为6，可知数列｛an｝的周期也为6，而且借助（*）可求得f（x）+ f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）+f（x+4）+f（x+5）=0，所以对于数列｛an｝，也有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，所以S2013=a1+a2+a3=a1+a2+（a2-a1）=2a2=4.

点评：本题是通过对数列的各项之间的规律的探究，构造函数来发现周期性，并将周期性运用到数列前n项和的求解中，使得求解直观而且简便，这体现了函数思想的在数列求解问题中的作用，根据题设条件灵活地构建方程是解决本题的关键.

二、化归与转化思想

化归与转化思想是数学中最基本的思想方法，是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科的一个特有的思想方法.化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，达到最终解决问题的目的.

例2若关于x的不等式（2x-1）2

分析：对不等式（2x-1）2

（一）代数法（解一次、二次不等式，研究解的个数）

方法1：由题意可知，a>0，

若a≥4，x有无数解，舍去；

当x=0时，x无解，舍去.

方法2：将不等式（2x-1）2

要使恰有3个整数解，

（二）几何法（数形结合，用基本函数图像研究解的个数）

方法3：设f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2.

当a=0时，y=g（x）表示x轴，舍去.

当a<0时，y=g（x）表示开口向下，对称轴为y轴的二次函数图像，舍去.

当a>0时，y=g（x）表示开口向上，对称轴为y轴的二次函数图像，由ax2>（2x-1）2，得g（x）>f（x），即恰有3个整数x值，使得g（x）的图像在f（x）图像的上方，

图1　

方法4：研究不等式ax2>（2x-1）2.

当x=0时，不满足，舍去.

图2　

则g（3）

方法5：研究不等式ax2>（2x-1）2.

当x=0时，不满足，舍去.

图3　

方法6：研究不等式ax2>（2x-1）2.

由题意可知，a>0.

当x=0时，不满足舍去.

图4　

如图4，

点评：对于代数法可以通过化归，避免讨论；对于几何法更要通过化归转化为基本函数，并利用函数图像解决问题.在方法3、4、5、6中，化归程度层层递进，化归得越彻底，得到的基本函数图像越容易，解答也就越简单.函数不断等价转化的过程，正是数学思维力的体现.

化归与转化和数形结合是高中的重要思想方法，我们将陌生的函数转化为熟悉的函数，将复杂的函数转化为简单的函数，然后通过研究基本函数图像，找到解题的路径.层层转化，化繁为简需要学生有扎实的基本功，敏锐的观察力和解题时的一丝灵感.

三、分类与整合思想

根据数学本质属性相同点和不同点，确定划分标准进行分类，然后对每一类进行求解，科学合理的分类以互质、无漏、最简为原则.

（1）求f（x）在［0，+∞）内的最小值；

（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值.

解：（1）设t=ex（t≥1），

点评：本题是考查函数、导数的基础知识，需要分类讨论、化整为零，各个击破从而求出答案.

四、数形结合思想

数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，与抽象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象联系和转化.

例4f（x）为R上的奇函数且x∈［0，2］时，f（x）单调递增，对x∈R有f（x+4）=-f（x），g（x）=m（m＞0），设f（x）= g（x）在［-8，8］上有四个根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______.

解：作出f（x）在［-2，2］上的图像，再由f（x+4）=-f（x）知，T=8.由f（x+2）=f（2-x）知，对称轴x=2，作出f（x）在［2，6］上图像，则得到f（x）在［-2，6］（在一个周期）内的图

像，左、右平移得［-8，8］上的图像如图5所示.

图5　

整个问题置于图像中即为整体观的运用，虽然x1，x2，x3，x4随直线g（x）=m的移动存在变化性，但x1+x2=2×（-6），x3+x4=2×2则始终不变，故x1+x2+x3+x4=-8.

点评：本题若利用代数法是不可能求出α与β的值，从而不能求出α+β的值，而运用数形结合思想可以间接巧妙地求出α+β的值.

五、特殊与一般的思想

特殊性寓于普遍性之中，具体问题、具体分析，通过特例分析，往往能获得解题的重要信息，达到减缩思维过程，降低推算难度的目的.

点评：考虑本题是选择题，a、b是用字母表示的数，我们不妨用特殊值来研究，答案来得简单.

总之，数学思想是从数学内容提炼出来的数学知识精髓.只有运用数学思想方法，考查函数概念、性质及导数等基础知识，考查函数极值、函数单调性、零点，考查数形结合、分类讨论等思想方法，才能使数学知识转化为分析问题，解决问题的能力，才能体现数学学科特点，才能形成优秀数学素养.