基于数学核心素养摭谈2016年高考试题

☉浙江省杭州高级中学　钱江校　区俞昕

基于数学核心素养摭谈2016年高考试题

☉浙江省杭州高级中学钱江校区俞昕

郑毓信先生近期在文［1］中指出了一个现今数学教育界的普遍现象：学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！这样的现象无论如何不应再继续了！2016年的高考已降下帷幕，考完以后各类有关的群里议论最多的就是“学生做再多的题也没用啊！完全是考查数学能力呀！”仔细回味其中的话意，我们确实需要反思自己的教学.我们应该力求通过数学教学让学生学会思维，思维得更清晰、更全面、更深刻、更合理.下面笔者就以2016年高考试题为载体谈谈如何在教学中注重渗透数学核心素养.

一、让学生掌握研究数学问题的方法

数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是让学生学会研究数学问题的方法，而这也是我们在教学过程当中容易忽视的.比如在学习数量积运算的运算律时，往往会忽略运算律的推导与证明，而将重点落于运算律的运用上.而事实上，教材中明确了对于数量积运算律的推导要求，如下图1所示.

运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律，你能推导向量数量积的下列运算律吗？

已知向量a、b、c和实数λ，则：

（1）a·b=b·a；

（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.下面我们证明运算律（3）.证明：如图1，任取一点，在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即

图1　

考题示例1（2016年浙江省数学理科高考试题15）已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有，则a·b的最大值是______.

此题作为填空题的压轴题给考生的感觉是：题目新颖、表述简洁，看似简单但却无从入手，我们平时处理向量问题的常规方法在此似乎都无用武之地.若是回归到以上数量积运算律（3）的推导过程：向量a+b在向量e上的投影等于向量a、b在向量e上的投影的和.此题便可以迎刃而解了，似乎还变成了一道秒杀题.

由此可以看出为什么会有人感叹：做再多的题也没有用啊！其实是缺少了一个前提：在没有弄清楚我们学习的数学知识中蕴含的研究数学问题的方法时，盲目地去做大量的习题，是会事倍功半.所以我们要反思我们的教学，特别是研究数学问题的教学.数学问题解决始于问题情境，情境赋予新知识以意义（（加深对概念、命题的基本关系的理解；情境赋予经验以生长（（体验知识结构获得过程，学习运用自身的知识结构进行思维；情境使学习变得有效（（在生动、丰富的情境中学习如何选择、判断、获得和运用已有信息，如何运用所学知识去解决现实世界中的问题.总之，学会研究数学问题的方法往往比掌握某个知识更重要，因为当你手中有了方法，你就有可能会尝试自己去探索新知、掌握新知、运用新知.

二、让学生学会从最本源出发思考数学问题

单墫先生提出了12条解题要诀，其中一条为：解题“应力求简单自然，直剖核心.”数学解题时，只有经过深度思考，洞察问题的本真结构，才能直剖核心，透出思路，发现美感.而洞穿问题的本质结构在于，解题者在自己的思维的内源性意识结构机能中，找到诱发问题本源性结构思路的启示，这种启示的发现，很大程度上取决于主体思考问题的深度，思考问题的方式与思考问题的经验，是极具个性化的思考过程，是属于个体内在思想的跨越，是极富创新的过程.因此，我们不能给出一种发现问题本源性结构的一套合适的、行之有效的程序，只能通过不断的引导学生反思自己解决问题的方法，或者是在面对一道不知如何下手的陌生问题时经过自己的努力而发现问题的结构.

考题示例（2016年浙江省数学理科高考试题19）如图2，设椭圆

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

第（2）问运算量较大，基本思路是将几何问题转化为代数问题来解决.（高考标准答案解法省略）

事实上，我们若是从本源出发思考此问可以是别有洞天.设M（x，y）是椭圆上一点，连接MA，由于|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1.

考虑函数t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1的图像与直线t=r2的公共点.其中a>1，r是圆的半径.当公共点对应的y=±1时，一个公共点对应圆与椭圆的一个公共点；当公共点对应的y∈（-1，1）时，一个公共点对应圆与椭圆的两个公共点.根据题意可知，函数t=（1-a2）y2-2y+a2+1，在［-1，1］上为单调函数，否则必然存在直线t=r2与之有两个公共点，且其对应的y均在区间（-1，1）.考虑到其对称轴为，而a2>1，因此，解得1

图2　

以上是从函数与方程思想这一本源思想出发解决此问，此法计算量小，但思维含量大，需要学生具有较高的数学素养，能够将学过的数学知识横纵相连，融会贯通.无论是高考标准答案的解法还是上述解法，都不是学生能通过盲目的题海战术一朝一夕就能达成的，这是一种数学素养的积累.恐怕这种数学素养还需教师在日常教学中不断渗透与培养，一定要留给学生独立思考问题的时间与空间，灌输式的解题模式或技巧的传授反而会阻碍这种素养的形成.

三、让学生充分反思数学思想方法

在高中数学学习过程中，教师会教授很多思想方法，比如数列的学习中，有“累加相消法”、“累乘相消法”、“构造法”、“裂项相消法”、“错位相减法”、“分组求和法”等等，教师的教学方法往往是“一种方法配几道例题”，然后通过大量练习来巩固.学生在学习这块内容时往往也会云里雾里，拿到题目不知从何选择方法.今年的高考中，数列以压轴题的面貌出现，平时习惯了数列模式化训练的学生在面对这样的试题时可能就会一筹莫展.反思我们的数列教学，如果能让学生充分反思数列学习中的各种思想方法，挖掘学生自我探究数学问题的能力，至少能开拓学生面对压轴题的心理素质与眼界.而事实上平时多做一些模式化的习题对于解决这类压轴题也确实没有什么帮助.

考题示例（2016年浙江省数学理科高考试题20）设数列满足，

（1）求证：|an|≥2n-1（|a1|-2）（n∈N*）；

事实上，从数列的界的角度看，第（1）问给出了数列｛|an|｝的一个等比下界，第（2）问给出了数列｛|an|｝的一个等比上界.若|an|>2，那么将由于下界增长速度超过上界增长速度而导致矛盾.这就需要学生真正从数学角度来看待问题，而技巧只是帮助揭示问题本质的辅助工具.

四、反思数学核心素养的教学

文［2］中指出，在高考中增强基础性，有助于构建学生终身学习与发展之基础；增强综合性，有助于选拔适合社会需要的综合型人才.数学科高考要结合学科的特点，构建数学科统一考试体系，增强考试内容的基础性、综合性.通过考查核心概念、基本原理和基本方法，增强考试内容的基础性；通过考查各分支内容和学科之间的联系，增强考试内容的综合性，促进学生从整体上建构知识框架；通过设计新的情境，考查学生运用数学及相关学科的核心概念分析和解决问题的能力.将数学知识、数学思想和数学方法的考查融入到能力考查当中，突出数学的通用性和基础性，重视理性思维，为高等学校选拔创新人才，发挥对中学教学的良好的向导作用.

数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析是数学六大核心素养.不难发现，这些也是高考重点考查的方向.2016年浙江省数学理科高考试题6：如图3，点列｛An｝，｛Bn｝分别在某锐角的两边上，且

图3　

图4　

|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，

|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*.

（P≠Q表示点P与Q不重合）

若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）

此题就是从等差数列的概念，考查学生的逻辑推理能力.

2016年浙江省数学文科高考试题14：如图4，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是______.

此题可以从逻辑推理、数学运算、直观想象三个方面来考查学生，我们至少可以三个角度来思考与解决这个问题：传统推理的方法、向量运算方法、向量坐标运算方法.而平时我们立体几何计算的教学中比较偏重于向量的坐标运算，而坐标运算往往计算量比较大，面对这样一道填空题，学生往往会因为畏难心理而造成各种计算错误或思维阻塞.这也说明我们的教学中存在思维单一的弊端，没有留给学生足够的时间与空间对问题进行进一步的思考，往往就是“建系”一步到位解决就了事，浪费了很多立体几何中的良好素材.下面我们可以剖析此题除“建系”以外的其他角度.

角度1：过D作DH垂直AC于H，如图5所示，点D在以H为圆心，DH为半径的圆上运动，且圆面（记为α）与AC垂直.在D点运动的过程中，直线AC与BD所成角为直线BD与圆面α所成角的余角，因此问题等价于求直线BD与圆面α所成角的正弦值的最大值.设E为B在圆面α上的投影，经计算得，因此直线BD与圆面α所成角的正切值最大的为，于是其正弦的最大值为，即直线与BD′所成角的余弦的最大值.

图5　

角度2：如图5所示，设直线AC与BD′所成角为θ，

五、结束语

有种说法是“应试教育”与“素质教育”势不两立，其实从培养学生数学核心素养的角度看其实不然.考试是一种选拔的工具，高考的改革也是为了更合理的通过考试来体现学生各方面的素养.数学作为选拔的一门重要学科更应该承担起这样的任务，我们的数学教学要充分的让学生感受数学思维带来的思维上的快感，潜移默化的提升学生的数学核心素养，能够让学生以更宽广的思维、更开拓的眼界与更强大的心理素质来思考数学问题、面对高考.

1.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J］.数学教育学报，2016，25（3）.

2.任子朝，陈昂.加快高考内容改革，增强基础性和综合性［J］.数学通报，2016，55（6）.