数学实验探究中的几何直观探微

江苏省苏州市相城区春申中学　许　宏

数学实验探究中的几何直观探微

江苏省苏州市相城区春申中学许宏

几何直观是新课程标准的核心概念之一，更是一种数学学习的基本策略，而数学实验则是培养几何直观能力的有效载体与途径。借助数学实验能帮助学生养成操作图形的良好习惯，实现数形结合。

初中数学；实验探究；几何直观

目前，广大数学教师愈来愈多地接触几何直观这个词汇，按笔者的理解，它是新课程的核心概念，更是一种数学学习的基本策略，几何直观是指利用图像来分析数学问题，使之形象化，便于交流与理解。而数学实验则指的是借助实际操作来真正让学生操作几何直观，数学实验是实现几何直观的有效渠道。没有实验的几何直观难以真切化也难以理解，而没有几何直观的数学实验则往往是纸上谈兵，不切实际。如何通过数学实验来培养学生的几何直观，笔者结合平时工作略陈一二：

一、在折、剪中实现几何直观，理解数学概念

数学概念是数学的基本元素，但是长期以来，数学概念教学不外乎教师展示一些实例，让学生观察讨论它的基本内涵，做多了学生自然形成了相关概念，但是在现实中学生往往对其理解不深，易发生概念之间的理解混淆。

比如，对于三角形的中线、角平分线、高线是三角形中的基本线段，在建立这三个三角形中的概念时，我们可以让学生把其中一条边对折，这样就找到了这条边中点，然后沿这个中点与这条边所对角的顶点折出一条线段就是三角形的中线了。至于高，其实需要把三角形的一边对折，如果此时折缝没有过这条边所对角的顶点，那要再折，直接折缝过了顶点，展开三角形纸片，此时的折缝就是三角形的高了。为什么？学生可以通过平角被分成两个相同的角来理解，此时折缝正好与它相交的边垂直。同样角分线则要通过折叠三角形的角来得到，它有核实属性是必须使三角形的一个角分成两个相同的角，而且这个角平线是指一条线段而不是射线。另外，还有一边上的中垂线也是一个重要概念。对学生来说，不但现在需要掌握这些概念，今后还要衍生出它们的种种性质，在作图与圆的学习中都会用到，但现实中学生往往会混淆起来。那是因为他们对概念的理解比较肤浅。为什么计算面积是一定要是用高，而不是中线？这需要学生理解高的概念与三角形面积的实验过程。为什么是中线可以把三角形分成面积相等的两块，而不是角平分线？这更需要把握其同一直线上两条相同的线段所造成的等底的特征。有了上边的操作过程，学生不但看到了相关线段，还做出了相关线段，这种在直接实验操作中得到的概念既是几何直观的表现，更有助于概念的真正形成。

二、借助数形结合实现几何直观，使数学直观化

数学中有大量内容，从表面上看是属于代数的领域，但如果我们能借助实验用形来表征数学中的许多内容，就会使这些内容更形象与直观，这就是我们经常说的数形结合。在小学里，学生已经学会用线段图来表示应用题的数量关系，到了初中，数形结合的要求更高了，用线段可以表示无理数。

这里我们可以插入两段数学史，一是：公元前4世纪，毕帕索斯发现正方形的边长与其对角线之间就是不可公度（公度指的是它们之比是自然数之比）。而由于毕帕索斯的这一离奇发现，触犯了部分人的利益，因此这位聪明的数学研究者被可怜地扔进了大海。另一则是在中国，传统数学中的无理数产生于开方不尽的圆周率。中国人始终对关于无限的问题能够正视，所以很快发现了无理数。有了这两则史话，我们可以出示如上图形，让学生探究图中在边长为一的小正方形块拼成的大正方形中有如阴影部分所示的长方形，你知道长方形的长是多少，宽又是多少吗？数形结合下的数学探究由此开始，这种学术探究氛围一点不亚于中国古代数学家与国家的数学名人。

三、借助图形变动实现几何直观，理解变化中的规律

让图形中部分元素是运动的，让学生产生运动的观念，这是数学实验中培养学生数学思维的常用渠道，也是培养学生几何直观的重要方面。对于运动的图形，传统教学中学生只能够通过不同图形的操作达到目的，这正好像过去的画图生成的动画片一样，它只是一种感觉上的动，并未真正地动起来。现在好了，有了电脑软件，一切都梦想成真了，几何画板就是这样一款实用性很强的数学实验软件。

比如我们要研究y=ax2（a≠0）与y=a（x-h）2（a≠0）的两图像间的关系，借助几何画板，我们生成相关图像会非常自然，而且两个图形可以重叠在一起比较。一旦图像呈现，我们可以改变h的大小，所产生的变化一目了然，然后可以让学生找找这样变化的原因，使探究进一步深入。

再如，为了探究圆的相交弦定理，我们可以如下操作：

（1）打开几何画板，做出⊙O，在⊙O上取四个点，连接出两条弦AB与CD，交点为E。

（2）运用“度量”菜单下的“线段”，度量AE、BE、CE、DE的长度，观察后猜想：这四条线段存在什么样的关系？然后用函数功能计算两两相乘的结果，在界面的一侧显示结果。

（3）拖动四个圆上四个点中的其中一个，看猜想的结论有何变化。（4）拖动四个顶点中的几个，看猜想的结论有何变化？

通过这些操作，学生的猜想得到了验证，就为下一步的证明提供了方向，怎么证明，其实学生会很快通过把相关等式转化为线段的比例关系，然后用相似三角形、圆周角的知识来解决了问题。

综上所述，在新课程时代，数学实验将原始的数学探究过程重新搬上了舞台，让学生经历数学家的思维过程，增强自信心与自豪感。而通过数学实验，学生的动手能力增强了，数学直观能力也得到了培养。由于计算机的介入，使数学实验更为高效与省时，使数学实验与几何直观更加紧密地联系在了一起。

［1］董林伟.数学实验手册（八年级上册）［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2015.