小变形条件下聚合物本构关系研究

高　波，彭　刚，冯家臣，王绪财，王　伟，陈春晓

（中国兵器工业集团第五三研究所，山东 济南 250031）

小变形条件下聚合物本构关系研究

高波，彭刚，冯家臣，王绪财，王伟，陈春晓

（中国兵器工业集团第五三研究所，山东 济南 250031）

通过两种工程塑料不同温度条件下的准静态和动态压缩试验，研究这两种工程塑料的应力应变特性。同时，为描述所研究聚合物在高温、高应变率下的应力-应变特性，基于Johnson-Cook本构模型，建立一种形式简洁、便于参数拟合的聚合物本构模型。分别利用聚甲醛和密胺树脂在准静态下和高应变率条件下的真应力-真应变曲线，对模型进行参数拟合和标定，结果表明：在高温、高应变率条件下，模型可以预测到5%应变以前的应力-应变关系，与聚合物力学性质符合率良好。

本构关系；参数标定；Johnson-Cook模型；聚甲醛；密胺树脂

0　引　言

随着高性能工程塑料构件在武器装备中的广泛应用，高性能工程塑料在动态冲击、极端服役条件下的高应变率力学特性及其数学表达吸引了越来越多研究人员的关注。

密胺树脂属于热固性树脂，具有较高的热稳定性，但在服役过程中易出现冲击开裂、破碎等问题。聚甲醛是一种具有良好力学性能的热塑性结晶聚合物［3］，是工程塑料中机械性能最接近金属材料的品种之一，聚甲醛有望代替密胺树脂在武器装备中得以应用。聚合物材料动载荷冲击相关研究中，实验和数值模拟是常用的研究手段，准确描述材料的动态本构关系是保证数值模拟结果可靠性的关键。

聚合物及复合材料本构关系的研究中有两种不同的研究思路，其一是半经验的宏观力学法，即以材料的宏观粘弹性行为为基础，利用经验公式建立非线性粘弹性本构模型；其二是细观力学法，即从细观层次的分子统计力学角度，建立材料的本构关系。分子统计力学的理论较为复杂，其理论意义要大于工程实践中的实用意义，因此，研究者多采用宏观力学法。

Chen等［7］以Johnson-Cook材料模型（简称J-C模型）为基础，建立环氧树脂从低应变率到高应变率下的非线性粘弹性本构模型，与J-C模型相比，该模型考虑了应变率和应变的耦合效应，而且增加了两个待拟合参量，形式较为复杂。Sun［10］在描述碳纤/PEEK复合材料的非线性和应变率相关行为中，认为其非弹性性能是类似金属的一种塑性行为。朱兆祥、王礼立和唐志平等在研究工程塑料本构关系时，提出了朱-王-唐（ZWT）非线性粘弹性本构模型，该模型包含一个非线性弹性体和两个Maxwell体，该模型已被许多研究者所引用。但是，ZWT非线性粘弹性本构关系尚未考虑温度的影响，而高分子聚合物材料在服役工程应用中，环境温度的变化将对其力学性能产生显著影响。

J-C模型是以乘积关系描述应变、应变率和温度对流动应力的综合影响。该模型形式简单、参数数量少且涵义明晰，便于拟合得到模型参数。J-C模型现在已经被ABAQUS/EXPLICIT、LS-DYNA和MSC/ DYTRAN等主流有限元分析软件所采用，进行动力学有限元分析。

本文以聚合物动态力学特性为基础，在不考虑耦合作用的条件下，试图建立一个参数较少、数学表达形式简洁、便于工程应用的本构关系，以表征和预测所研究聚合物在高温、高应变率下的动态力学特性，为此材料的工程应用和本构关系研究提供依据，为聚合物材料在抗冲击工程部件上的设计应用和数值仿真提供数据支撑。

1　试验结果与讨论

利用φ14.5mm分离式霍普金森压杆对聚甲醛和密胺树脂试件分别进行了常温（试样温度20℃）、高温（试样温度50℃、70℃）、高应变率压缩试验，压杆材质为铝合金，弹杆长度400mm，调节加载气压0.3～0.8MPa实现不同应变速率加载；利用INSTRON材料试验机进行准静态压缩试验，结果如图1、图2所示。

图1　不同应变率下两种材料应力应变曲线

图2　不同温度下两种材料应力应变曲线

由图1（a）可以看出，聚甲醛的静态曲线和动态曲线在幅值上有差异，存在明显的应变率效应，但其变化趋势是一致的，在准静态条件下，聚甲醛没有明显的屈服段，材料的应力-应变曲线在加载段有明显的非线性特性，这说明聚甲醛是一种应变率敏感的韧性材料。

图1（b）可以看出，密胺树脂具有明显的破坏阶段，在高应变率下其破坏过程更加迅速，这是由于试样中的缺陷在高速冲击过程中迅速扩展、汇合，最终导致材料的破坏。随着应变率的增大，密胺树脂的应力峰值和曲线幅值呈增大趋势，即冲击速度越高，其承载力越强，可见密胺树脂的应力-应变关系是与应变率密切相关的。说明聚甲醛和密胺树脂的粘弹塑性应变硬化初期无明显比例段，两种材料均为应变率敏感强化材料，相比于密胺树脂，聚甲醛具有更好的冲击韧性。

由图2可以看出，当应变率条件相同时，聚甲醛和密胺树脂具有明显的加热软化现象，即随着温度的提高，其应力应变曲线幅值减小。因此，在描述所述材料的本构关系时，需要考虑温度这一影响聚合物材料性能的关键因素。

2　本构模型及其拟合

不同应变率条件下应力-应变曲线表明，聚甲醛和密胺树脂具有较明显的应变率敏感性，要建立该聚合物的弹粘塑性本构关系，必须考虑应变率效应。有关应变率对屈服应力或定值应变下流变应力的影响，人们已经做了大量的实验研究［1］，由实验数据整理所得的一维应力下的经验公式，主要有两种类型，即如下的幂函数律和对数律：

式中，σ0——准静态试验下的屈服应力或流变应力；

n、λ——表征材料应变率敏感性的常数。

J-C模型［4］利用对数律的形式来表征应变率对定值应变下流变应力的影响。

温度的变化对工程塑料的力学性能有重要影响，因此在材料的本构中温度因素是要考虑的一个重要因素。对于聚合物材料来说，温度影响点主要有：玻璃化转变温度、熔点、黏流温度、热分解温度等。对于无定型聚合物，玻璃化温度是明显的；对于结晶态聚合物聚甲醛和密胺，玻璃化温度不明显，熔点应视为这两种聚合物的最高使用温度。

综合以上分析，建立经验型本构方程：

其中f（ε）=E0ε+αε2+βε3无量纲等效应变速率无量纲化温度T*=T-Tr/Tm-Tr，Tr是参考温度，Tm是熔化温度。本构方程中等号右边各项依次表征应变强化效应、应变率强化效应和温度软化效应。获得待拟合的参数E0、α、β、C、m，拟合结果如表1所示。

表1　聚甲醛的非线性动态本构模型参数

2.1聚甲醛本构方程拟合

利用相关度定量描述模型数据与实验数据之间的符合程度，数学表达式为

式中：σexp——实验数据；

σm——模型计算所得数据；

N——计算所取得点数。

在应变5%以前模型与试验数据拟合程度较好，试样温度20℃时，模型预测值和实验值的平均相关度为95.6%，试样温度70℃时平均相关度为93.7%，如图3所示。模型利用ZWT模型的非线性部分，符合ZWT模型适用于小变形情况的基本规律。高应变率下的动态破坏是一种裂纹迅速扩展的突发过程，因本构中未引入材料的损伤破坏准则，所以该本构方程还不能预测材料的动态失效与破坏下的应力与应变状态。

图3　聚甲醛本构模型曲线与实验曲线比较

为验证本文所提出的本构关系对其他聚合物的适用性，利用上述聚合物本构模型，对密胺树脂动态本构模型参数进行拟合及验证。拟合结果如表2所示。

表2　密胺树脂的非线性动态本构模型参数

2.2密胺树脂本构方程拟合

经计算，试样温度20℃时，模型预测值和实验值的平均相关度为94.9%，试样温度70℃时平均相关度为92.6%，如图4所示。模型可以较好的描述高应变率下密胺工程塑料应变5%前的应力应变行为，在预测所述工程塑料动态力学行为时，该模型具有较好的适用性。

图4　密胺本构模型曲线与实验曲线比较

3　结束语

本文通过一维霍普金森压杆装置对聚甲醛和密胺树脂两种聚合物的动态力学性能进行研究，并以J-C模型为基础，建立了一种聚合物本构模型，用以描述所研究聚合物的动态力学特性。本文所提出的模型可以较好地描述聚甲醛和密胺树脂破坏段以前的非线性应力应变关系，可以较好地从宏观上描述聚合物的应变强化、率强化和温度软化效应，在高温、高应变率下，模型可以预测到应变5%以前的力学行为。试验表明，在建立聚合物本构模型的过程中，参考金属材料成熟的本构模型是一种可行的思路和方法。

［1］王礼立.应力波基础［M］.北京：国防工业出版社，2010：166-169.

［2］SIVIOUR C R，WALLEY S M，PROUD W G.The high strain rate compressive behavior of polycarbonate and pol yvinylidene difluoride［J］.Polymer，2005（43）：12546-12555.

［3］HUANG M J.Elastic constants of a Polycrystal with an orthorhombic texture［J］.Mechanics of Materials，2004（36）：623-632.

［4］JOHNSONG R，COOKWH.A constitutive model anddataformetalssubjectedtolargestrains，high strain-rates and high temperatures［C］∥Porc Seventh Int Nat Symposium on Ballistcs April，1983．

［5］SHEN L J.Constitute for isotropic or kinematic hardening at finite elastic-plastic deformation［J］.Int J Solids and Structures，2005（43）：5613-5627.

［6］DROZDOV A D.Constitutive equations in finite elasticity of rubbers［J］.Int J Solids and Structure，2007（44）：272-297.

［7］CHEN W，ZHOU B.Constitutive behavior of Epon 828/T-403 at various strain rates［J］.Mechanics of Time-Dependent Materials，1998（2）：103-111.

［8］沈玲燕，李永池，王志海，等.三维E玻璃纤维复合材料压缩行为的应变率相关性实验研究［J］.防护工程，2010，32（2）：48-52.

［9］柳和生，涂志刚，熊洪槐.聚合物熔体粘弹性本构方程［J］.高分子材料科学与工程，2002（1）：22-25.

［10］SUN C T.张帆，译.复合材料的非弹性性能［M］.北京：科学出版社，1999.

［11］RICHETON J，AHZI S，VECCHIO K S，et al.Adharapurapu Influence of temperature and strain rate on the mechanical behavior of three amorphous polymers：Characterization and modeling of the compressive yield stress［J］.International Journal of Solids and Structures，2006（43）：23l8-2335.

［12］TRAUTMANN A，SIVIOUR C R，WALLEY S M，et al. Lubrication of polycarbonate at cryogenic temperatures in the split Hopkinson pressure bar［J］.International Journal of Impacting Engineering，2005（31）：523-544.

（编辑：徐柳）

The constitutive relation of polymer research in the range of infinitesimal strain

GAO Bo，PENG Gang，FENG Jiachen，WANG Xucai，WANG Wei，CHEN Chunxiao
（Institute 53 of China Ordnance Industry Group，Ji'nan 250031，China）

The stress-strain characteristics of poly formaldehyde and melamine resin are investigated by quasi-static and dynamic compression experiments.In the meantime，in order to describe the dynamic compression mechanical properties of the polymer，a type of polymer constitutive model which is simple in form and easy for parameter fitting，was proposed based on Johnson-Cook constitutive model.The true stress-true strain curves of poly formaldehyde and melamine resin under the condition of quasi-static and high strain rate were used for parameter fitting and to calibrate the new model.The results show that under the condition of high temperature as well as high strain rate，the new model can predict the stress-strain relationship before strain reaches 5%. The coincidence rate of the model and the polymer mechanical properties are good.

constitutive relation；parameters calibration；Johnson-Cook model；poly formaldehyde；melamine resin

A

1674-5124（2016）10-0119-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.10.022

2016-04-25；

2016-05-17

高波（1990-），男，山东泰安市人，助理工程师，研究方向为非金属材料动态力学性能测试。