教学改革尊重教材、突破教材，让课堂更加自然

龚圣龙

[摘 要] 追求自然和谐的数学课堂是每个数学教师的目标，如何让教学设计的每个环节的设置都能自然衔接、丝丝入扣、层层递进，让思维的发生、发散和辐射都是自然流畅地进行着呢？

[关键词] 椭圆参数方程；课堂；设计；自然

数学课程标准指出，数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点及学生的心理特点，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及他们所体现的数学思想方法，对数学有较为全面的认识，为未来发展和进一步学习打好基础.

教材是师生双方教与学的一个载体，新课标要求教师用教材，而不是教教材.

那么如何重新整合、提炼、建构教材，使教材“新鲜出炉”？如何让教学设计的每个环节的设置都能自然衔接、丝丝入扣、层层递进，让思维的发生、发散和辐射都是自然流畅地进行着呢？

笔者有幸上了一堂西南大学赵伶俐教授组织的国家级精品课《椭圆的参数方程》（北师版），下面笔者将结合《椭圆参数方程》这节课来谈谈自己对教材处理的一些感悟.

[?] 椭圆的参数方程该如何建构更自然？

几套教材为代表的几种常见处理模式：

人教A版：在“椭圆的参数方程”部分，教科书用类似于“圆的参数方程”中例4的代数方法，直接得出椭圆+=1（a>b>0）的一个参数方程为x=acosφ，

y=bsinφ （φ为参数），然后引导学生思考：“类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程中参数φ的意义是什么？（教材27页）

编者的意图是想先通过纯粹的代数和三角变换得到椭圆的参数方程，再用几何的方法（如图1所示的两个同心圆）来寻求参数φ的几何意义.

几套教材各有所长、各有侧重（湘教版未介绍几何意义但对三角代换讲述详细）. 笔者查询了其他教师的一些设计，基本也都是这几个方式，笔者自己也都尝试过，但总是有不尽如人意的地方. 虽然学生能“听懂”，但很多都是似懂非懂，总是有几个困惑：一是学生会想这个图形（同心圆）是怎么来的；二是有学生说我知道这个是对的，但不知道是怎么想到的；三是图形复杂，学生对参数的选择可能会有困难（怎么就想到将φ作为参数）；四是这个图形的讲解过程学生的主动探究成分有多少；五是这个求解过程对学生的后续数学学习有何指导意义；六是椭圆的参数方程的参数的几何意义和圆参数方程的几何意义难道就仅仅是相似或者说易混吗？

经过笔者的思考和实践，发现如下设计处理更为自然.

以问题串的形式引导椭圆参数方程的建构，让学生在问题串的引导下深入地思考，给学生充分的交流、发言的机会，体现数学课堂的思维性及以生为本的理念. 力求课堂内容内涵丰富，凸显数学的本质.

问题2：圆x2+y2=a2（a>0）的参数方程是什么？既然圆可以通过上述变换得到椭圆，那你能否利用圆x2+y2=a2（a>0）的参数方程，并借助上述变换得到椭圆+=1（a>b>0）的参数方程？

问题3：椭圆参数方程中的参数φ的几何意义是什么？

设计分析：圆学生很熟悉，由圆压缩变为椭圆也很直观，这种变换也是学生学习椭圆新课所经历过的内容（北师版教材选修2-1的91～93页专门介绍过均匀压缩），学生也可以联想三角函数的伸缩变换得出圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍就变为椭圆. 代数表达式就是x′=x，

y′=y，因此问题1学生上手很容易. 圆的参数方程学生上节课刚学习，比较熟悉，而在圆上任意取一个点A（acosφ，asinφ），经过坐标变换得到M（acosφ，bsinφ），学生不会觉得难，故问题2就显得水到渠成了.

本设计的优势是既保留了教材编者的设计意图，又不至于直接拿出两个圆，显得突兀并且复杂，而是通过几何画板的动画形式让教材上的两个同心圆一个一个地出来，遵循从简单到难的策略一步一步展示出来. 如图3：

本设计结合动画展示出来后，教材立马从“冷冰冰的面孔”变得鲜活多姿，学生不仅从代数上和直观上确认参数φ的几何意义就是椭圆所对应的大圆上一点和椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角，而不是OM的旋转角∠xOM，有效地突破了本节课的难点，而且也呼应了教材上的两个同心圆问题. 通过笔者的上课实践比较，本设计对学生来说更加自然，也更加有效.

[?] 椭圆规的构造原理该怎样理解？

人教A版、北师版、湘教版三套教材中都有椭圆规的构造原理的探究，编者提示学生求轨迹的参数方程. 笔者以为编者的提示是合理的，但是利用参数方程只是检验了该工具确实能画出椭圆，据此认定它是椭圆规的构造原理似乎有点儿不甚合理. 还有之前笔者就有疑问：教材中的同心圆的求解过程对学生后续数学学习有无指导意义？如果同心圆的构造只是为了引出椭圆的参数方程，知道了参数φ的几何意义就束之高阁未免过于可惜.

通过前面的学习已经知道椭圆可以由两个同心圆经过伸缩变换而得到，而椭圆规也确实是画出了椭圆，那么这两者之间有什么联系呢？

如图4，过点O作OA平行于MN，且OA=MN. 在OA上取点B，使得OB=MP. 让P，N两点分别在x，y轴上运动，就相当于A或者B点绕原点转动，则点M的轨迹就是一个椭圆. 于是，椭圆规的构造原理已跃然纸上（这可能也是编者用两个同心圆来建构椭圆的参数方程的原因之一吧，如果教师在上课的过程中忽略了这一点联系，那不仅是枉费了编者的一番苦心，也使得学生对椭圆规的原理的理解一知半解，只知道能画出来，不知道为什么能画出来）. 实际上图4中反映出来的，既有圆与椭圆之间的相互伸缩变换关系，也有椭圆的普通方程与参数方程之间的相互转换，还有利用两个同心圆进行椭圆规的构造，这一切不正体现了数学的和谐美与简洁美吗？

设计分析：笔者觉得教材这个思考固定了学生的思维，学生的思维被引到了参照教材33页的圆的参数方程的求法去计算. 而笔者对本问题的设计，先给出圆的两种参数方程作为例子（实际有很多种），让学生自由写出椭圆的另一种形式. 不局限于一定要是这两种形式，还可以是其他的，这样学生的思维就被打开了. 就算是想到和上面的圆的第二种相似的方程，也可以是两种思维：一是直接从形式上类比，作一个合情推理，再来验证是否正确；二是参照北师版教材上的圆的第二种参数方程的计算过程，来算出椭圆的参数方程x=

[?] 引导学生多维度认识椭圆的生成方式

教师在教学过程中要“瞻前顾后”，更大程度上把知识的教学伴随在培养态度、能力的过程之中. 本节课椭圆的参数方程是圆锥曲线的参数方程的第一课时，学生通过对定义、方程以及与其他圆锥曲线和直线关系的认识，经历了多次从感性认识到理性认识的过程. 但是从参数的角度认识椭圆还是第一次，尤其是得到椭圆图形的过程：①平面截圆锥，当角度合适时，截口曲线是一个椭圆；②两个定义（以两个定点、一个定点加一条定直线得到椭圆）；③本节课教材从两个圆中演变出椭圆的参数方程；④本设计从一个圆通过伸缩变换（均匀压缩）得到椭圆. 还有其他生成椭圆的方式可以让学生了解，因此本节课是学生从多角度、多层次认识椭圆的上升过程. 另外，从教材的编排来看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，起着衔接、过渡、承前启后的作用. 作为圆锥曲线的核心内容，椭圆的参数方程学习是圆的参数方程的演化，也是类比学习后面双曲线、抛物线参数方程的基础. 教师在教学中要适当地引导延伸，避免造成学生只是孤立地学习本节课的知识.

[?] 教学反思

本设计着力从以下几个方面来做出一些创新：

（1）利用运动变换的思想从学生熟悉的圆的参数方程得到椭圆的参数方程并明确参数的几何意义. 学生在学椭圆新课时教材专门介绍过从圆压缩为椭圆的均匀压缩，这样学生在得到椭圆参数方程时就不存在参数选择的困难，从而顺利得出椭圆的参数方程，并且从代数上和直观上确认参数的几何意义就是椭圆所对应的大圆上一点和椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角，从而使难点得到有效突破. 关于人教A版教师用书：“仔细研究上述变换过程，也可从中得出参数的几何意义，上述过程不要求学生了解.” （教师用书24页）笔者认为，编者的意思是教师对伸缩变换不作扩展，不作一般意义上的推广，以免加重学生的负担. 笔者通过本节课实践发现先从图像动画入手，让学生观察圆是怎么变成椭圆的，再让学生说出圆上每一点的坐标是怎么变化的，学生就觉得很直观，很容易接受. 避免了教师冷冰冰的介绍什么是伸缩变换，变换中原坐标和新坐标有什么对应关系，再学习从圆能到椭圆的过程，就不会加重学生的负担.

（2）几何画板的动画演示加深了学生对椭圆轨迹的形成及参数的几何意义的理解. 设计中用几何画板的动画演示圆变成椭圆的形成过程，在这种运动变换的思想指导下学生能很好地理解参数方程及参数的意义，有效地突破难点，同时也激发了学生学习椭圆参数方程的兴趣. 通过让学生在图形中找出线段b也呼应了教材上的两个同心圆问题.

（3）将对椭圆规的原理的探究与构建椭圆的参数方程时的同心圆联系起来，既让学生对原理更加清晰，也丰富了教材同心圆的应用.

（4）引导学生多维度认识椭圆的生成方式.

教学过程本应是师生自然发展、自然完善的过程，追求自然和谐的数学课堂也是每个数学教师的目标，但若教学设计不关注学生的认知状态和规律，就会使教学过程生硬、被动，目标达成不自然. 教师深入研究教材、体会编者意图、优化教学设计，不断暴露学生对问题解决的思维过程，让学生能充分体验数学的“再发现”，从而体会其中蕴涵的数学思想方法，这样我们的数学课堂才会更加自然！