例谈初中数学归纳法的应用

刘艳萍

作为初中的一门重要课程，初中数学对培养学生的逻辑思维和归纳能力起到非常积极的作用，所以在进行初中数学教学的过程中，必须要强化对教学方式的选取。归纳法在数学证明题中有着广泛的应用，能够对命题进行论证，因此广大初中数学教师都非常注重学生对归纳法的掌握。通过开展初中数学归纳法的应用研究能够更好的解决数学问题，改善数学教学质量，并为相关研究提供参考意见。

一、数学归纳法概述

初中数学的一种关键证明方式就是归纳法，尤其适用于数学特定命题的解答，验证题目在整体/局部自然数内成立，完成数学题目的解答。此外，通常在良基结构中也能够运用数学归纳法，集合论中的树就是典型的数学题目。

初中数学中归纳法的应用范围有限，仅限于解答有关正整数的数学问题，并对等式是否成立、数列通项公式是否成立等问题进行验证。归纳的过程就是数学归纳法运用的关键所在，在运用数学归纳法的过程中，获得的并非真理，而是一种经验，为了证明归纳结果是否成立，应进行进一步的演绎证明。

二、数学归纳法的应用步骤分析

在初中数学中运用数学归纳法时，需要通过两大步骤进行验证分析：

首先，对n取值为m时（m为自然数），命题的成立与否进行验证。该数学问题的本质就是证明命题的最小自然数是否存在，阐释特殊状况中命题的正确与否。该数学问题的证明涉及到自然数集最小数原理，表明自然数下各非空子集是否存在最小数。这个分析过程就是归纳奠基，为数学命题的验证分析奠定了基础，是影响命题成立的关键所在。

其次，设n取值为k时命题成立，其中k要比n大。通过推导的方式证明取n的连续自然数n+1时，该命题依然成立。这一步能够判断出命题正确性能够进行传递，并将这一结论进行普遍性推广。假设并验证的环节是归纳推理的核心，即找寻在n取值为k+1时和n取值为k时的相同命题结果。

基于假设的思想，运用归纳法进行假设和分析是数学归纳推理的主要构思，单一的验证过程是利用归纳法的前提，归纳法的关键就是归纳递推，这两大步骤必须要同时存在。在明确归纳推理的思路后，要按照规定的格式对证明步骤进行书写，从而得出结论和结果，表明取值为自然数n（n大于等于零）时数学命题的成立。

三、初中数学归纳法的应用研究

（一）数学归纳法在初中数学证明恒等式中的应用

初中数学恒等式的证明主要涵盖代数恒等式（正整数）、组合数学公式恒等式和三角恒等式，可以利用归纳法进行验证，证明的关键就在证实等式两边相同与否。

例如：对n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2，其中n∈N*。利用归纳法进行验证。

证明过程为：

（1）当n取值为1时，等式右边左边=左边=1=（2×1-1）2，等式成立。

（2）假设n取值为k时，等式依然成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2

则当n取值为k+1时，等式为k+ （k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k +2）]+8k=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=[2（k+1）-1]2

则当n取值为k+1时，等式左右两边依然成立，所以取n（任意正整数）均可以使等式成立。

（二）数学归纳法在初中数学证明不等式中的应用

在对初中数学不等式进行验证的过程中，可以不等式划分成严格、不严格两大类，前者只需要原来不等式的>、<成立；而后者的证明过程比较繁琐。例如初中数学教师在开展教学活动的过程中，就可以充分运用归纳法的作用和优势，对公式中任意取值为1，假设公式在此情况下成立，之后假设自然数k也可以使不等式成立，这样就能够得出相应的不等式，之后归纳在取k+1时公式两边也成立，这样就能够使不等式的证明简化为验证，只需要对简单的不等式成立与否进行证明即可。

（三）数学归纳法在初中数学整除问题证明中的应用

初中数学整除问题也会广泛应用到数学归纳法，在解决这类数学证明问题时，需要基于整数的角度，运用添项和删项的方式进行配凑，从而得出是否可以被整除的问题。

例如：验证f（n）=5n+2×3n+1是否可以被8整除。

证明过程为：

（1）当n取值为1时，f（n）=5n+2×3n+1即为f（1）=5+2×3+1=8，所以可以被8整除；

（2）假设当n取值为k时，原命题依然成立，