当音乐拥抱数学

王江山

你可能曾为巴赫钢琴曲的壮丽而震撼，为肖邦圆舞曲的清新优雅而沉醉，为柴可夫斯基乐章的悲壮与深情而感叹，为贝多芬交响乐的激情澎湃而心旌摇曳。

你一定也曾惊叹过数学的缜密逻辑，那些巧妙的定理、简洁或复杂的公式，其中都揭示着某种深刻的规律。数学如此抽象，有时候难免让人产生迷惑，但也激发出人们一探究竟的乐趣。

那么，充满激情和幻想的音乐与强调理性和严谨的数学之间有什么关系呢？音乐中是否蕴含着数学知识，音乐的和谐柔美是否也隐藏着数学的奥秘呢？

毕达哥拉斯的思考：五度相生律

“do、 re、mi……”随着这几个简单的音阶，我们开始了人生中的第一堂音乐课。数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音阶，读音为do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。提到数学与音乐的关系，我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合，也许就是这7个基本音阶了。你可曾想过，这些音阶是按照什么规律排列的呢？

让我们回到2500年前，追随大名鼎鼎的古希腊数学家毕达哥拉斯的脚步，看看他是怎么解答的吧。

据说，毕达哥拉斯曾在散步时路过一家铁匠铺，铁匠铺里传出的叮叮当当的敲击声吸引了他的注意。他走进去，发现这些美妙的声音源于铁锤和铁砧的大小不一，故而发出的声音也不同，这激发了他的思考：这些声音的和谐与什么有关呢？

众所周知，毕达哥拉斯开创了自己的数学学派，该学派信奉数是万物的起源，因此宇宙和谐的基础应当是完美的数的比例。而音乐之所以能给人以美的感受，很大程度上是因为它有着一种和谐。在这种意识的启发下，毕达哥拉斯用不同的乐器做了许多实验，进而发现声音与发声体体积有着一定的比例关系。而后，他又在琴弦上做了试验，发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程，而它们彼此间是存在比例关系的。

那么，这个比例是多少呢？能不能通过数学的方法计算出来呢？毕达哥拉斯又进一步进行了实验。经过更多的实验和推算，毕达哥拉斯终于发现，当弦长比分别为2∶1、3∶2、4∶3时，发出的音律最为和谐，这就是我们后来所使用的五度相生律。

美的东西总是简单而和谐的。依据五度相生律产生的基础音阶构成的旋律，按照任意的方式组合，都有各自的美感。而将全部半音阶推算出来后，旋律的紧张度和动力度会得到增强，更能产生旋律之间动态的美感和张力。所以，自然界需要和谐，音乐也需要和谐。

中国先贤的探索：三分损益律

德国著名数学家莱布尼茨曾说过：“音乐是一种无意识的数学演算，是心灵的算术练习。”可见，音乐和数学是有着内在联系的。我国古代著名的思想家管仲（管子）也曾认识到数学与音乐的关系，他不仅是政治家、军事家和思想家，还有很高的音乐修养，被后人称为我国“音律学之祖”。

《管子·地员篇》里曾记载：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分而复干其所，以是生羽。有三分去其乘，适足，以是成角。”这篇文章中记载的宫、商、角、徵、羽就是我国古代的五音阶。

那么，管仲又是如何确定宫、商、角、徵、羽这五音阶的呢？他首先将一个弦的长度定为基音，而后将它三等分，增加一份（益一）或去掉一份（损一），就可以定出另一个音律的长度。以此类推，直到获得比基音高出一倍或低一半的音，最后就可以得到五音阶。这种乐理又被后人称为“三分损益律”，是我国古代音乐的重要成就，为我国古代音乐发展史做出了很大的贡献。

用这种方法产生的律被称为“纯律”，纯律各音之间有最小的整数比关系，因此人们觉得纯律的音色听起来最为纯净。如今，纯律主要在无伴奏的合唱中使用，人们一般认为中国的古琴应用了纯律。从中我们也可以看出，只有当两音的音程关系符合泛音列中占优势的音程关系时，才会使人感到音乐的美妙。音乐能够反映出宇宙本质的数理关系，还能够体现出宇宙根本规律的和谐。

五度相生律和三分损益律在生律法原则上是一致的，它们生律的结果也是相同的。由此可见，无论是东方还是西方，先哲们都是从悠扬的乐声中认识到了数学的存在，他们发现的数学规律也间接地促进了音乐的发展。

寻找最美的音符：音乐中的黄金分割

提到黄金分割，大家都不陌生。0.618这个奇妙的数值总令人产生无限的遐想，从贝类动物身上的神秘螺线到金字塔的边线角度，从人体的和谐线条到无机物质的原子排列，这个神秘的比例在生活中随处可见。那么，当黄金分割理论被应用于音乐中，又会碰撞出怎样的火花呢？

许多作曲家有意或无意地把黄金分割理论运用到音乐中，这成了他们作品历久弥新的法宝。许多乐曲都是一段式、二段式、三段式或五段回旋式，而黄金分割比例与音乐中的高潮位置有密切的关系。例如在《梦幻曲》中，全曲共分为6句、24小节，按照黄金分割率计算的话，高潮将在第14小节（24×0.618≈14.83）出现，而这与实际情况完全符合。

更典型的例子是莫扎特的《D大调奏鸣曲》，它的第一乐章全长160小节，若用小节数乘以黄金分割比值，即160×0.618=98.88，而曲子的再现部位恰恰位于第99小节，正好在黄金分割点上。也许是有意为之，也许是天赋的自然流淌，莫扎特的大部分钢琴曲中都应用了这个方法，以至于有人评价他：“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特也是一位喜欢数字的天才，莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

如果大家仔细观察就会发现，许多优秀歌曲的高潮部分一般也会出现在黄金分割点上。这一点不仅在古典音乐中得到充分的展示，在流行歌曲中也可以找到痕迹，许多歌曲的主歌和高潮部分都落在这个神秘的点上。

西尔弗斯特曾说过：“难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，而把数学描绘成理性的音乐吗？这样，音乐家感觉到数学，数学家想到音乐，每一方都经由对方达到尽善尽美的境地。”没想到吧，音乐与数学的结合竟然如此奇妙，伟大的艺术中常常栖居着科学的秘密。

音乐是人类灵魂的酣畅释放，是感性思维中最唯美的表达；数学是以数字为基本符号的排列组合，是理性思维最深刻的表现。然而，在更抽象的层面上，二者之间存在着紧密的联系。正如德国数学家莱布尼茨所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学，而数学就像最纯粹的音乐。乐音激荡，数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。那么，就让我们沉醉其中，纵情感受它们的魅力吧！