椭圆曲线y2=nx(x2-8)的整数点

赵 晶 晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南 临沧 677000)



椭圆曲线y2=nx(x2-8)的整数点

赵 晶 晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南 临沧 677000)

目的椭圆曲线是代数几何的基本研究对象，是研究丢番图方程的一个强有力的工具。椭圆曲线y2=nx(x2-8)的整数点问题目前仍未解决。方法利用Legendre符号值的性质、同余等方法。结果设n是大于1的无平方因子的正奇数，证明了：如果n的所有素因数pi(i∈Z+)都满足pi≡±3(mod8)，则当n=3时，有椭圆曲线y2=nx(x2-8)的整数点(x,y)=(±3,3)，(0,0)；当n≠3时，仅有整数点(x,y)=(0,0)。结论此结果推进了该类椭圆曲线的研究。

椭圆曲线；整数点；Legendre符号；奇素数

椭圆曲线的整数点是数论和代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=ax(x2+b),a,b∈Z+的整数点问题，文献[1-12]已有很多结果。关于椭圆曲线

(1)

的整数点问题，目前主要结论为：祝辉林、陈建华[1]在2007年证明了a为素数、b=1时椭圆曲线(1)至多有1组正整数点；乐茂华[2]在2008年证明了a为素数，b=1时椭圆曲线(1)仅当p=5和29时各有1组正整数点(x,y)=(9,60)和(x,y)=(9801,25220)；赵院娥[3]在2012年给出了对于某些特殊素数a，椭圆曲线(1)的上界；万飞[13]在2015年给出了a为素数、b=4时椭圆曲线(1)至多有1个正整数点。

利用初等方法对椭圆曲线y2=nx(x2-8)的整数点的情况进行研究。

1　相关引理

引理1[14]a,b∈Z+,则方程ax4-by2=1至多有2组正整数解。

2　定理及其证明

定理若无平方因子的正奇数n的所有素因数pi(i∈Z+)都满足pi≡±3(mod8)，则当n=3时，

(2)

椭圆曲线有整数点(x,y)=(±3,3)，(0,0)；当n≠3时，仅有整数点(x,y)=(0,0)。

证明显然(x,y)=(0,0)是椭圆曲线(2)的整数点，设(x,y),x,y∈Z+是椭圆曲线(2)的正整数点，因为n是无平方因子的正奇数，故由(2)式知n|y，设y=pz，z∈Z+，代入(2)式，

得

pz2=x(x2-8)

(3)

因为gcd(x,x2-8)=gcd(x,8)=1或2或4或8，故(3)式可分解为以下4种情况：

①情形Ⅰx=n1a2,x2-8=n2b2,z=ab,

②情形Ⅱx=2n1a2,x2-8=2n2b2,z=2ab

③情形Ⅲx=4n1a2,x2-8=4n2b2,z=4ab

④情形Ⅳx=8n1a2,x2-8=8n2b2,z=8ab

其中n=n1n2，gcd(a，b)=1,a,b∈Z+。

1)情形Ⅰ将x=n1a2代入x2-8=n2b2，

得

(4)

(1)当n2>1时，n2中至少含有一个素因子p，由题意得p≡±3(mod8)。对(4)式两边同时取模p，

得

(5)

(2)当n2=1时，n1=n，此时(4)式成为n2a4-8=b2，则有(na2+b)9na2-b)=8，解得na2=3，b=1,则有n=3，a=1,因此x=na2=3，此时方程(2)有解(x,z,p)=(3,1,3)，则当p=3时椭圆曲线(2)有整数点(x,y)=(3,±3)。

2)情形Ⅱ将x=2n1a2代入x2-8=2n2b2，

得

(6)

(1)n2>1时，n2中至少含有一个素因子p，由题意得p≡±3(mod8)。对(6)式两边同时取模p，

得

(7)

(2)当n2=1时，n1=n，(6)式成为

2n2a4-4=b2

(8)

由(8)式知b为偶数，所以b2≡0,4(mod8)。又gcd(a,b)=1，所以a为奇数，则a4≡1(mod8)，因此2a4≡2(mod8)。又n为奇数，所以n2≡1(mod8)，因此，2n2a4≡2(mod8)，故(8)式为6≡2n2a4-4=b2≡0,4(mod8)，显然不成立，因此当n2=1时情形Ⅱ不成立。

即

(9)

(1)n2>1时，n中至少含有一个素因子p，由题意得p≡±3(mod8)。对(9)式两边同时取模p，

得

(10)

(2)当n2=1时，n1=n，此时(9)式成为

4a4-2=nb2

(11)

由(11)式知b为偶数，所以b2≡0,4(mod8)。又n为奇数，故nb2≡0,4(mod8)。又gcd(a,b)=1，所以a为奇数，则a4≡1(mod8)，因此4a4≡4(mod8)。故(11)式为2≡4a4-2=nb2≡0,4(mod8)，显然不成立，因此当n2=1时情形Ⅲ不成立。

4)情形Ⅳ将x=8n1a2代入x2-8=8n2b2，得64n12a4-8=8n2b2，

即

8n12a4-1=n2b2

(12)

(1)当n2>1时，n中至少含有一个素因子p，则由题意得p≡±3(mod8)。对(9)式两边同时取模p，

得

8n12a4≡1(modp)

(13)

(2)当n2=1时，n1=n，此时(12)式成为8n2a4-1=b4,

即

8n2a4-1=b2

(14)

(14)式两边取模8

得

-1≡b2(mod8)

(15)

由(14)式得b为奇数，所以b2≡1(mod8)，因此(15)式为-1≡1(mod8)，显然不成立，因此当n2=1时情形Ⅳ不成立。

综上有如下结论：

如果无平方因子的正奇数n的所有素因数pi(i∈Z+)都满足pi≡±3(mod8)，则当n=3时，椭圆曲线y2=nx(x2-8)有整数点(x，y)=(±3,3),(0,0)；当n≠3时，仅有整数点(x,y)=(0,0)。

[1]祝辉林，陈建华.两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报，2007,50(05)：1071-1074.

[2]乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2±1)的正整数点[J].湛江师范学院学报，2008,29(03)：1-2.

[3]赵院娥.椭圆曲线y2=2px(x2-1)的正整数点的个数[J].西安石油大学学报，2012,27(02)：106-107+110.

[4]管训贵.关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院：自然科学版，2010,23(04)：384+393.

[5]杨海，付瑞琴.一类椭圆曲线有正整数点的判别条件[J].纯粹数学与应用数学，2013,29(04):338-341.

[6]窦志红.椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数[J].纯粹数学与应用数学，2011,27(02)：210-212+235.

[7]廖思泉，乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+2)的正整数点[J].数学杂志，2009,29(03)：387-390.

[8]陈历敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报，2010,53(01)：83-86.

[9]李玲，张绪绪.椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点[J].西安工程大学学报，2011,25(03)：407-409.

[10]杜晓英.椭圆曲线y2=px(x2+2)在p≡1(mod8)时的正整数点[J].数学的实践与认识，2014,44(15)：290-294.

[11]张瑾.椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的判别条件[J].数学的实践与认识，2015,45(04)：232-235.

[12]崔保军.椭圆曲线y2=px(x2+64)的正整数点[J].甘肃高师学报，2014,32(06)：962-963.

[13]万飞.椭圆曲线y2=nx(x2-4)的整数点[J].湖北民族学院学报：自然科学版，2015,33(03)：271-272.

[14]袁平之，张中锋.丢番图方程ax4-by2=1[J].数学学报，2010,53(03)：443-454.

[责任编辑：关金玉英文编辑：刘彦哲]

Integral Points on Elliptic Curve y2=nx(x2-8)

ZHAO Jing-jing

(Department of Logistics Management,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang,Yunnan 677000,China)

ObjectiveElliptic curve is a basic investigated object of algebraic geometry and it is a very powerful tool to study Diophantine equation.The integral points on elliptic curves y2=nx(x2-8) are also unresolved.MethodsThe nature of Legendre symbol and congruence were used.ResultsLetnbe a positive prime such thatnis square free.It was proved that if every prime divisor pi(i∈Z+)ofnsatisfies pi≡±3(mod8),then the elliptic curve in title has integer points(±3,3),(0,0)whenn=3;the elliptic curve in title has only integer point(0,0) whenn≠3.ConclusionThese results promote the studies on elliptic curve of this kind.

elliptic curve;integeral point;Legendre symbol;odd prime

云南省教育厅科学研究项目(2014Y462)

赵晶晶(1985-)，女，彝族，云南凤庆人，在读硕士研究生。研究方向：数论及计算机应用技术。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.09.001