现代控制理论的教学探讨

韦民红，李素文，朱旋，窦德召，邵芬

（淮北师范大学物理与电子信息学院，安徽淮北235000）

现代控制理论的教学探讨

韦民红，李素文，朱旋，窦德召，邵芬

（淮北师范大学物理与电子信息学院，安徽淮北235000）

从现代控制理论研究的特点和面临的问题出发，研究如何运用对照和比较、计算机技术、多种考核方式以及互动教学等多种教学方法，将抽象的东西变得容易接受，提高学生的学习兴趣和积极性，从而提高现代控制理论这门课的教学效果.

能控；能观；现代控制；教学方法

0 引言

现代控制理论是以状态空间法为主，研究系统状态的运动规律，并按所要求的各种指标最优为目标来改变这种运动规律的一门专业基础课程，也是“自动控制原理”的后续课程，它使用的数学工具主要是线性代数、矩阵理论等.现代控制理论的分析设计有别于传统的单输入单输出系统的分析设计，它的目的在于掌握现代控制理论和基本方法，以便进行复杂的多输出多输入系统的分析和设计，同时为进一步学习其他相关课程打下基础.我校在大三下学期开设这门课程，教材采用由天津大学刘豹等主编的现代控制理论第3版，本课程具有跨学科、数学公式多、数学推导烦琐、难以理解等特点［1］.如何激发学生对课程的学习兴趣和提高学生的创新能力，是探讨的重点问题.

1 教学探讨

1.1 对照和比较的引入

由于学生在前期已经学习过自动控制理论、信号与系统等课程的学习，这里将经典控制理论与现代控制理论加以对照和比较，信号与系统中拉氏变换与Z变换的对照和比较，分析它们的不同与联系，这样有助于学生对现代控制理论课程的学习和理解.

例如：对于控制系统的处理，论是经典控制理论还是现代控制理论，都需要进行数学建模，都可以建立高阶微分方程作为控制系统的模型，如式（1）所示，然而它们又有所区别，经典控制理论由微分方程得到传递函数模型，如式（2）所示，它只适用于单输入单输出模型，而现代控制理论不仅可以用于单输入单输出模型，而且多应用于多输入多输出模型，它建立的是状态空间表达式，如式（3）所示.接着它们都需要对所建立的模型进行求解，这些分析过程基本一致.经典控制理论使用的数学工具主要是拉氏变换、Z变换，而现代控制理论使用的数学工具主要是线性代数和矩阵理论，需要学生有较强的数学功底.

再例如：对于连续系统的状态转移矩阵的求取，可以采用信号与系统的拉氏变换，，如式（4）所示；而对于离散系统的状态转移矩阵的求取，则采用Z变换，如式（5）所示.二者在形式上有着很大的相似性，通过这样的对照和比较可以加深学生对新知识的印象，从而提高学生的理解，提高课堂教学的效率.同样，对于讲解时变系统的状态转移矩阵的性质时，可以结合定常系统状态转移矩阵的性质加以对照比较描述，把逗号“，”换成减号“—”加以记忆，这样以来，学生就更容易学习这些性质，有助于学习效率的提高.

1.2 计算机软件的引入

现代数学及计算机技术的快速发展为现代控制理论的应用提供一个强大的平台，为培养学生的综合分析能力，提高学生对内容抽象、理论性强、不容易理解的现代控制理论课程的学习，利用MATLAB强大的计算功能，可以容易地建立系统的状态空间表达式、进行能控能观性的判别、结构分解、状态反馈和状态观测器的设计以及零极点配置，还能分析系统的稳定性，并巧妙地绘制相应的响应曲线，动态地演示这些曲线，使得整个教学过程紧凑、连贯和直观.将MATLAB实时仿真分析的这些环节引入到课堂教学中，这样可以从知识点演示、实时仿真示范等方面，进行全方位的多媒体教学，从而提高学生的学习兴趣，提高学习效率和教学效果［2］.

1.2.1 系统的能控能观性

设线性系统的动态方程为｛x′=Ax+Buy=Cx+Du，式中A、B、C、D分别为（n×n）维、（n×p）维、（q×n）维、（q×p）维常数矩阵.

线性系统的能控性与可能观性是现代控制理论课程的重要内容之一，判断控制系统的能控性主要有两种方法，一种是将一般的状态空间表达式通过线性变换，变换成约旦标准型，继而对B矩阵中是否存在全零行和全零行的位置加以判断，另一种则是通过秩判别方法进行判别，定理有：系统完全可控的条件是下列（n×np）维可控性矩阵的秩为n，如式（6），系统完全可观的条件是下列（nq×n）维可观性矩阵的秩为n，如式（7）.

对于单输入-单输出系统还可以通过传递函数是否存在零极点对消，来判断系统的能控性.这些判断方法中，第二种方法是经典的判断方法，但是由式（6）可以看出，当系统的维数增加，或是对于多输入-多输出系统，矩阵的计算将是非常麻烦的，这时借助于计算机手段进行判断是非常容易的.

例如：有一线性定常系统的状态方程

可以看出，这里的A矩阵是4维的，B矩阵是（4×2），由式（6）判断其能控性，计算起来是非常麻烦的，而用MATLAB函数命令ctrb（）验算式（6）则是非常简单的，函数obsv（）验算式（7）则是非常简单的，而通常MATLAB的这类程序是固定的，只需将矩阵数值改变，直接套用即可，所以用MATLAB程序实现系统能控、能观性的判断是相当容易、方便的.

输入程序，运行结果显示：

由运行结果很容易看出系统是能控且能观的.

1.2.2 系统的稳定性

在经典控制理论中，主要有劳斯（Routh）判据和胡维茨（Hurwitz）判据判断系统的稳定性，奈奎斯特（H.Nyquist）判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以改善系统的稳定性.但是它们不能适用于非线性和时变系统［3］.

1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyapunov）提出Lyapunov分析方法对系统判稳.主要有Lyapunov第一法和第二法.第一法主要是通过解微分方程或求解系统的特征值来进行判稳.第二法主要是通过构造Lyapunov函数并判定其正定性来进行系统的判稳.尤其是第二法，特别适用于非线性和时变系统的判稳［3］.

例如：有一线性定常系统的状态方程

利用Lyapunov第一法，执行下述程序可以求出系统矩阵A的特征值d.

运行结果显示：

由运行结果可以看出，d的实部有大于零的，由Lyapunov第一法可以判断系统不稳定.执行MATLAB函数命step（），可以得到系统阶跃响应曲线，如图1所示：

＞＞step（A，B，C，D）

图1 系统阶跃响应曲线

由图1的阶跃响应曲线的发散，可以直观地看出这个双输入-双输出系统是不稳定的.利用Lyapunov第二法，执行程序如下所示：

运行结果显示：

由运行结果可以看出，系统不是李雅普诺夫稳定.

由以上分析可见，用Matlab进行对系统的能控性、能观性以及稳定性的判别，只需要套用固定的程序，即可直观、方便地进行判别和分析，对问题地阐述更深入浅出，从而提高学生的兴趣，提高教学效果.

1.3 其它

现代控制理论课程为纯理论课程，内容相对抽象枯燥，涉及的线性代数知识较多，如果前期学生的线性代数基础没有打好，或是这些知识已经忘记，就会感觉课程内容不易掌握和理解，从而导致学生的学习积极性下降，出现学生听课不认真、作业不会做或是抄袭的现象，再加上课程本身为考查课，教师和学生的重视程度不够，学生不愿意在课后花时间复习线性代数中的知识，如果教师不在课堂上把这些知识巩固一下，就会出现教学效果不理想的现象.为了改善这种局面，教师首先必须改变学生的学习态度，使他们更加重视这门课的学习.

首先，采用不同的考核方式，适当降低试卷分数在考核中所占的比重，可以加大课堂提问环节及论文书写方面在考核中的比重，通过提问，鼓励学生们参与，通过写相关论文，让同学们写出自己对现代控制理论这门课的理解及感悟，从而提高学生的积极性.

其次，在课堂讲解中不断穿插所用到的数学知识，将一些不易掌握和理解、枯燥无味的理论问题引入到相似的实际例子中加以讲解说明，通过习题讲解，对问题的阐述，做到深入浅出，从而提高学生的学习兴趣.

最后，可以通过建立相应的学习群，加强学生与老师的课外互动，制作课外作品，开展相关竞赛.适时的进行一些相关最新报道，鼓励学生报考控制相关的研究生，及参加相关的数学建模大赛.总之，将现代控制理论与实际应用能力相结合，才能充分调动学生的学习积极性，从而提高这门课的教学效果［4］.

2 结束语

将现代控制理论的教学大纲中要求教学内容与笔者多年的教学经验相结合，分析现代控制理论这门课程教学中存在的问题，探讨解决的办法及改革措施，为培养优良的应用型复合人才做出努力.

［1］程启明，薛阳，贾再一，等.“现代控制理论”课程教学改革的思考与探索［J］.中国电力教育，2013，30（10）：59-64.

［2］周兰，周少武.Matlab数字仿真在现代控制理论教学中的应用［J］.当代教育理论与实践，2014，6（5）：104-106.

［3］刘豹，唐万生.现代控制理论［M］.3版.北京：机械工业出版社，2006.

［4］肖小庆，周磊.现代控制理论教学改革研究［J］.高师理科学刊，2014，34（5）：101-104.

Research on the Teaching Method of Modern Control Theory

WEI Minhong，LI Suwen，ZHU Xuan，DOU Dezhao，SHAO Fen
（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Considering the characteristics and the problems of modern control theory research，the paper mainly researches how to use contrast and comparison，the computer technology，multiple evaluation meth⁃ods as well as the interactive teaching to make the abstract things easier to accept and to improve the stu⁃dents′learning interest and enthusiasm，thus the teaching effect of the modern control theory can be im⁃proved.

controllability；observability；modern control；teaching method

G 642

C

2095-0691（2016）03-0092-05

2016-04-08

安徽高校省级自然科学研究重点项目（KJ2015A069）；淮北师范大学重点教研项目（jy14120）

韦民红（1978-），女，安徽淮北人，博士，副教授，主要研究领域为控制工程与科学.