标本兼治，药到病除——二次函数零点分布情况教后记

◇　甘肃　孙小刚



标本兼治，药到病除
——二次函数零点分布情况教后记

◇甘肃孙小刚

二次函数零点(一元二次方程根)的分布情况历来是学生学习的一个难点,尤其是学生很难对具体问题中的限制条件挖掘完整和准确．教师在教这部分知识的过程中最普遍的方法是结合函数图象来分析教学,有些题也可以用根与系数的关系来推理求解,在图象的直观引导下,学生很容易理解,但是在具体解题时还要结合判别式,失误率很高.这种单纯观察图象的方法就相当于治病中的“治标”．要想彻底解决学生在这个知识点的问题,结合图象依据零点定理是一种“治本”的好方法．

零点定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,c也就是方程f(x)=0的根．零点定理的图象解释是:图象连续不断开,且在区间(a,b)上存在“变号零点”,即f(a)f(b)<0.

例1的“条件”有6类：

1) 一个零点大于1,另一个零点小于1. 由零点定理发现,只需f(1)<0即满足要求,可得出0

5) 2个零点都大于1,解法和思路与(4)相同,可得结论a>2.

以上6类问题主线就是零点定理的图象解释,老师先示范第1)类之后,其他5类由学生分组讨论,最后各组展示他们挖掘的控制条件的含义,相互学习、共同分享．在此基础上,老师再给予引导,考虑二次项系数含参数的情况．

当二次项系数不确定时,只需按照二次项系数分类之后,各类情况下的分析与上述思路相同．

例2的“实根分布情况”分以下6类讨论：

1) 一个根小于1,另一个根大于1.

在二次函数中,二次项系数影响图象的开口方向,开口方向不同,零点分布的控制条件也不同．本例中二次项系数未知,因此要分类讨论．当m>0时,需f(1)<0;当m<0时,需f(1)>0,解得m>0或m<-4.

2) 一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内. 类比于1),按照m>0和m<0分类讨论得到

求解即可．

尚剩下4种分布情况：3) 一个根小于-1,另一个根大于0； 4) 2个根都大于1；5) 2个根都小于-1；6) 2个根都在区间(-1,1)内. 对这4类可以做类似的讨论,不再赘述．另外,当一元二次方程有等根(或二次函数有一个零点)时的情况不能用零点定理,零点就在抛物线的顶点处,学生容易掌握．

图象和判别式以及对称轴是“表”,零点定理是“里”,表里兼顾,能使学生达到真正意义上的认识和理解,降低了学生理解的难度,提高了学生做题的准确率．可谓是标本兼治,药到病除．

甘肃省嘉峪关市一中)