试论二次函数在高中数学中的简单应用

◇　吉林　慕志刚



试论二次函数在高中数学中的简单应用

◇吉林慕志刚

二次函数是最基本的非线性函数,在初中数学教学中,已经对二次函数做出了详细的讲解,但是由于学生的基础薄弱,因此对二次函数的理解较为浅显．在高中数学中,二次函数多是穿插在其他内容中,对学生的数学能力与思维方法要求较高,因此在教学中教师应当对二次函数的概念与运用等进行讲解,由此加深印象,提高教学效率．

1　引导学生掌握二次函数基础内容

二次函数的常用形式有:

1) 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);

2) 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);

3) 双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

假如已知二次函数一般形式与x轴的一个交点,就可使用根与系数关系得出其他交点．

将y=ax2+bx+c向右平移2个单位,就能得到y=a(x-2)2+b(x-2)+c,再向下平移2个单位,就可得到y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2．

2　以二次函数为载体研究函数性质

一元二次函数是学生最熟悉的初等函数，对函数的图象以及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系都非常清楚，故与此有关的问题均可借助二次函数来求解.

(1) 当m=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程.

(2) 若f(x)在区间(-2,3)上是减函数，求m的取值范围.

又f(2)=5/3，故所求切线方程为y-5/3=5(x-2)，即15x-3y-25=0.

(2) 因为f′(x)=x2+2mx-3m2,令f′(x)=0,得x=-3m或x=m.

当m=0时,f′(x)=x3≥0恒成立，不符合题意.

综上所述，m的取值范围是m≥3或m≤-2.

导数法是研究高次函数的重要工具，利用导函数的正、负，可判断原函数的增减.三次函数求导后，其导函数为二次函数，故可结合二次函数的开口方向、判别式、零点等来确定导函数的正、负.

3　将实际问题转化为函数问题,再求解

在解决二次函数问题时,教师可带领学生将实际问题变为函数问题,再借助二次函数的图象与性质进行求解．

(1) 把政府每年征收的总税金y(万元)表示为p的函数,同时判断函数的定义域．

(2) 想要使政府收取不少于128万的税金,税率p%如何确定?

通过将实际问题化为函数问题,可培养学生的思维能力,在求解的过程中,学生也能够巩固二次函数的内容,提高解题能力．

综上所述,二次函数在数学解题中发挥了非常重要的作用,在教学中,教师应当尽量将其与实际生活联系在一起,使学生认识到二次函数的重要性,由此激发学生的求知欲．

吉林省松原市宁江区实验高级中学)