概率融于游戏中问题解答显智慧

陆莉萍

经典游戏：小明、小月两人轮流连续报数，小明先报“1”或“1、2”，小月接着连续报数，可以说一个数或两个数，然后又轮到小明，再接着连续报数，同样可以说一个数或两个数，这样两人反复轮流，但不可以不说，谁先抢到30谁就得胜.问：谁将最终获胜？制胜策略是什么？

【分析】这是一个经典游戏，其中蕴含了丰富的数学知识与思想方法.常见的解题方法是逆推法.具体分析如下：要想抢到30，必先抢到27，要想抢到27，必先抢到24，…，要想抢到6，必先抢到3.因此，这个游戏的制胜策略是“抢到3的倍数”.

那么，这个结果是否可以进行推广呢？下面不妨对游戏进行推广，将抢“30”改为抢“31”，如果再用逆推法进行分析，那么我们就会发现原来的规律改变了.这说明刚才的解法是不全面、不深刻的，并非是解决这类问题的通法.本文将以此问题为例介绍解决这类问题的通法，并给出一个可以推广的制胜策略.

这个游戏是与自然数有关的问题.解决这类问题时，我们可以先把问题一般化，也就是将抢“30”的问题变成抢“n”（n是自然数）的问题.又因为n是一个自然数，它可以取1、2、3……这些值，所以我们可以用“从特殊到一般再到特殊”的方法将问题特殊化，先研究n=1、2、3……时的情况，再通过比较、分析猜想出其中的规律，最后再对猜想出的规律进行证实或证伪.因此，解决与自然数有关问题的一般步骤可归纳为：“问题一般化→问题特殊化→猜想规律→证明规律→解决问题”.下面我们就用这四个步骤解决“抢30”游戏问题.

第1步：问题一般化

将“抢30”问题推广到“抢n”（n是自然数）问题，下面以甲、乙两人为例，即甲、乙两人连续报数，甲先报，乙后报，可以说1个数或2个数，谁抢到n谁就得胜.问：此游戏是否有制胜策略？如果有，制胜策略是什么？

第2步：问题特殊化

因为n是自然数，所以我们让n取1、2、3、4……这些特殊的值.

①当n=1时，因为甲先报数，他报1即可获胜.

②当n=2时，甲报1、2即可获胜.

③当n=3时，甲有两种报数方式，一是报1，二是报1、2.当甲报1时，乙报2、3；当甲报1、2时，乙报3.所以乙胜.

④当n=4时，甲只要先报1个数，那么再报剩下的3个数时就是乙先报、甲后报的情况.根据③可知，当报3个数时，后报者胜，所以甲胜.

⑤当n=5时，甲只要先报2个数，那么又剩下了3个数，且甲是后报者，所以甲胜.

⑥当n=6时，因为甲只能报1个数或2个数，所以乙只要在甲报数的基础上报2个数或1个数，就能使剩下的数为3个，并且他是后报者，所以这种情况是乙胜.

⑦当n=7时，甲只要报1，那么再报剩下的6个数时就是乙先报、甲后报的情况.根据⑥可知，当报6个数时，后报者胜，所以甲胜.

⑧当n=8时，甲只要报2，那么又剩下了6个数，且甲是后报者，所以甲胜.

⑨当n=9时，甲报数只能报1或1、2，乙只要报2、3或3就能剩余6个数，再报剩下的6个数时就是乙后报，所以这种情况是乙胜.

⑩当n=10时，甲只要先报1个数，那么再报剩下的9个数时就是乙先报、甲后报的情况.根据⑨可知，当报9个数时，后报者胜，所以甲胜.

……

第3步：猜想规律

通过上述特殊情况，我们不难发现当n=3、6、9时，乙胜，其余情况都是甲胜.由此，我们猜测“当所报数的个数是3的倍数时，后报者胜”，也可以说成“把3的倍数个数留给对方，我方赢”.

第4步：证明猜想

上述规律是根据许多特殊情况猜测出来的，它不一定是正确的，需要通过证实或证伪.下面我们证明上述规律“把3的倍数个数留给对方，我方赢”.此命题可以改述为“对于所有的自然数k，把3k个数留给对方，我方赢”.下面我们用数学归纳法（注：此法是高中数学中最重要的方法之一哦）进行证明.

首先，当k=1时，即把3个数留给对方，根据上述第③种情况可以得出命题成立.

其次，假设把3（k-1）个数留给对方，我方能赢，去证明把k个数留给对方，我方赢.

当有k个数留给对方后，对方有两种报数方式：

第①种，对方报1个数，则我方报2个数，还剩3k-3个数，就把3（k-1）个数留给了对方，我方赢.

第②种，对方报2个数，则我方报1个数，就又把3（k-1）个数留给了对方，我方赢.

综上所述，命题对于所有的自然数k成立.

通过上述探究，我们不难发现“抢n”游戏的制胜策略是“把3的倍数个数留给对方，我方赢”.再回过头来看“抢30”游戏，不难分析后报者能胜，因为甲、乙需要报数的个数是3的倍数，且甲先报，乙后报，所以乙赢.具体报数的方法是当甲报1个数时，乙接着报2个数；当甲报2个数时，乙接着报1个数.这样乙就能始终把3的倍数个数留给甲，从而乙能赢.

下面将“抢30”改为“抢31”.由于前面的制胜策略是针对“抢n”游戏的，那么对于“抢31”游戏也应该适用.根据制胜策略可知先报者能赢，具体报数的方法是甲先报1个数，留下30（3的倍数）个数给乙，接下去当乙报1个数时，甲报2个数，当乙报2个数时，甲报1个数，这样甲就能赢.

综上所述，从此类问题的解决过程中可以看出，研究制胜策略体现了从特殊向一般的转换过程，而将概率作用（获胜机会）发挥到最大化，也表明必胜策略研究是属于概率研究范畴之内的问题，同学们确实应该学会分析、仔细体会、不断提高.

（作者单位：江苏省无锡市宜兴实验中学）