抗差M估计在GPS/北斗双系统定位中的应用

苗维凯,王胜利,石波

(1.山东科技大学 测绘科学与工程学院,青岛266510;2.海岛(礁)测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室,青岛 266510;3.山东科技大学 海洋工程研究院,青岛 266510)



抗差M估计在GPS/北斗双系统定位中的应用

苗维凯1,2,王胜利2,3,石波1,2

(1.山东科技大学 测绘科学与工程学院,青岛266510;2.海岛(礁)测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室,青岛 266510;3.山东科技大学 海洋工程研究院,青岛 266510)

针对经典最小二乘估计对粗差不具有抵抗力的问题,本文详细论述了具有抗差能力的抗差M估计的基本原理。利用GPS/北斗观测数据,对三种常用的抗差M估计以及经典最小二乘估计进行数据测试,对比分析其在GPS/北斗双系统码伪距相对定位中的抗差效果及效率。测试结果表明,抗差M估计的解算结果比最小二乘法更接近真实值;在三种常用的选权迭代法中,IGG-Ⅲ方案的抗差效果和效率好于Huber法和丹麦法,且较易实现。

GPS/北斗组合定位;相对定位;选权迭代法;IGG-Ⅲ;效率

0　引　言

2016年3月30日,随着第22颗北斗卫星的成功发射北斗系统星座稳健性进一步增强。当某些区域可视卫星较少时,采用GPS/北斗联合定位体现出许多优势[1-2]。在进行双系统联合定位时,由于北斗和GPS轨道误差、北斗内部3种类型卫星观测值的差异和接收机钟的稳定性差的问题,观测值中可能包含粗差[3],如果按照经典的最小二乘进行平差并且没有考虑到粗差的影响,就得不到最优无偏的估值。为了解决最小二乘估计准则下的残差二次型对粗差过于敏感,个别粗差就会对参数的估值产生较大影响的问题,Huber于1964年提出了M估计理论,M估计是测量数据处理中最常用和最主要的稳健估计准则[4-6]。本文在分析M稳健估计[7]的基本理论的基础上,讨论了三种常用的选权迭代法。为了验证选权迭代法在GPS/北斗双系统码伪距相对定位中的抗差效果及效率,利用实测的GPS/北斗的数据,比较了使用和不使用选权迭代法对定位结果的影响。

1　GPS/北斗组合定位模型

假设有已知坐标的基准站1,坐标未知的移动站2,同时跟踪卫星i、j,站际星际做差可得伪距观测方程:

(1)

式中: ρ为卫星与接收机之间的伪距测量值; R为卫星到接收机之间的几何距离; δρtrop为对流层延迟; δρion是电离层延迟; δothers代表其他方面的误差。接收机1是基准站,接收机2是移动站,卫星i作为参考星(通常是在一个历元中高度角最大的卫星)。式(1)同样适合于北斗观测值。

由式(1)进行线性化可得误差方程:

(2)

式中: v为双差观测值ρ的改正数; l、m、n分别为位置参数X,Y,Z方向上的方向余弦; δX2, δY2,δZ2分别为接收机2在X,Y,Z方向上的迭代求解的坐标增量; L为观测方程的常数项。

写为矩阵形式:

V=AδX-L.

(3)

其中观测值权为P可以使用双差观测模型的方法[8],在本文中使用:

(4)

式中:Ei为卫星高度角;Er为参考卫星的高度角。因为在抗差估计中,等价权的确定主要集中在对角线元素上,所以本文中不考虑非对角线元素的影响。

ATPAδX-ATPL=0,

(5)

即:

δX=(ATPA)-1ATPL .

(6)

单位权方差:

(7)

其中,n为所列方程的个数。在进行同一类型观测值作差的过程中,站际单差消除了卫星钟差,星际单差消除了接收机钟差,所以未知数就只有移动站三维坐标的改正数。

2　M抗差估计

2.1M抗差估计基本思想

抗差M估计又称M-LS抗差估计[10],抗差M估计只考虑观测值含粗差,且服从文献[11]中的污染分布,而假设参数先验值服从正态分布的一种稳健估计。它是基于等价权模型的抗差估计,通过构造等价权,使未知参数的估值尽可能避免粗差的影响。

设有相互独立的观测子样{li},其观测权为{pi},i=1,2,…,n. M估计是由观测子样{li}求参量{θi}的估值,j=1,2,…,n.残差为{vi}.求解的条件是[pρ]就θj极小,即满足

(8)

式中,ρ是适当的极值函数,令

(9)

令

(10)

式中,ω称为权因子。因此,求极值的问题就可以转化为所熟悉的最小二乘观测方程组:

(11)

相应观测方程为

Aθ=X+V.

(12)

抗差最小二乘估值为

(13)

2.2几种常用的选权迭代法

选权迭代法是在平差的过程中根据前一次计算的残差V对观测值进行重新定权、重新平差,直至结果满足限差要求的一种抗差估计。下面列出了常用的三种选权迭代法的方案,包括极值函数、等价权因子和等价权公式。根据等价权思想,有不同的极值函数即可构造不同的等价权函数,而不同的极值函数又对应着不同的影响函数[13]。在|v|=kσ时,权因子均为1,σ为单位权方差,k为倍数。在实际计算中,通常从测量误差理论来看,按正态分布误差在±1.5σ之外的概率仅为0.13,而超出±2.5σ的概率为0.01.因此,k可取1.5-2.5之间的值。

2.2.1Huber法原理

Huber法的极值估计准则是假设观测值在不利分布情况下求最优估计[14]。

极值函数:

(14)

权因子:

(15)

等价权:

(16)

由Huber权函数可以看出,Huber估计的权函数是单调的,它在kσ处的斜率有突然变化。当所有改正数均在-kσ到kσ之间时,Huber估计就是经典最小二乘法估计[15]。而当部分改正数大于kσ时,其p与改正数成反比,v愈大,对应的p愈小,与此相应该观测值对参数估计的影响也愈小。k的值根据实际情况选取。

2.2.2丹麦法原理

极值函数:

(17)

改进后的权因子:

(18)

等价权:

(19)

丹麦法权因子采用指数函数,会在迭代计算中累乘因子,它实质上是淘汰法。k的值根据实际情况选取。

2.2.3IGG-III方案原理

极值函数:

(20)

权因子:

(21)

等价权:

(22)

IGG-III方法属于有淘汰域的M估计,残差超出范围的那部分观测会遭到淘汰,具有较强的抗差性。由于权因子之间的变化较平缓,因此k的取值和余差值的小的变化影响不大。k0、k1的值根据实际情况选取。

3　算例分析

本算例选用2013年3月17日美国某已知基准点一个历元的GPS/北斗观测数据。首先对原始观测值采用经典的最小二乘、Huber法、丹麦法以及IGG-III法分别进行解算,然后在原始观测值中选取GPS和北斗各一个观测值,分别在其伪距观测值中加入3m的误差,再次用四种方法进行解算。分析比较在观测值不含粗差和含粗差的情况下上述四种方法在定位精度和收敛速度方面的效果,计算抗差的三种模型时选用的参数参考了文献[16]。

在试验中,直接使用IGG-III方案失效。原因在于有些观测量的权因子为0,使得方差膨胀因子为∞,导致法方程的系数矩阵不可逆,从而使计算结果失效,在本例中,令权因子所在的行列的值为1来解算最终的结果。

在本例中,计算四种方案的x,y,z 方向和N, E, U方向的改正数时均保留了3位小数,数值越小,表明结果越准确。

从表1可以看出,三种抗差估计方案的结果都存在一定差异,并且不论观测值中是否含有粗差,三种方案的解算结果都比最小二乘方案的解算结果好。从图1可以直观地看到四种方案的解算结果,其中,IGG-III方案的解算精度更高。

一种好的抗差估计法除了具有一定的抗差性,其迭代收敛的速度也应考虑在内。在本例中,设迭代门限值为0.01.从图2可以直观地看到,IGG-III方案的迭代次数最少,并且结合表1可知,其精度也最高。

由上述分析可知,在粗差为20m情况下,综合迭代次数和最后的精度,IGG-III方案比Huber法和丹麦法的效果好。

表1　四种估计方法比较表

图1　四种估计方法精度比较

图2　三种抗差估计迭代次数比较

4　结束语

本文结合实测数据比较了GPS/北斗双系统码伪距相对定位在观测值含有粗差与不含粗差两种情况下,三种选权迭代法对观测值的抗差效果及效率的问题。选权迭代法在初始权方面是相同的,即估计结果不受初始权的取值影响。且在选权迭代的过程中,对于选权的标准都是随着每次迭代后计算的残差V重新计算,所以三种选权迭代的条件系数是动态的。经过实测数据验证,在观测值中不含有误差时,三种选权迭代法能在一定程度上改善定位精度,这说明在组合定位中对各类观测值进行等权处理是不合适的;当观测值中含有粗差时,经验证IGG-III方案在效率和解算精度上都比Huber法和丹麦法的效果好且易实现,因此,在不清楚数据分布的情况下,建议选择IGG-III方案。

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王胜利 (1981-),男,山东泰安人,工学博士,研究方向为GNSS理论与算法、测量数据处理理论与方法。

石波 (1979-),男,山东淄博人,工学博士,副教授,主要从事车载三维测量系统和三维建模研究。

The Application of Robust M Estimation on Positioning of GPS and Compass Dual System

MIAO Weikai1,2,WANG Shengli2,3, SHI Bo1

(1.CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,China; 2.Island(reef)NationalKeyLaboratoryofGeographicInformationBureauofSurveyingandMappingSurveyingandMappingTechnology,Qingdao266510,China;3.InstituteofOceanEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,China)

Arming at the problem of that the classical least squares estimation has no resistance to the gross error, the basic principle of robust M estimation with robust ability was discussed in this paper.The three commonly robust M estimations and the classical least squares estimation were tested using GPS and Compass observed data.According to the results, the robust effect and efficiency were analyzed and compared with Code pseudo range in the relative positioning of the GPS and Compass dual system. It showed that the results of the robust M estimation is more close to the true value than that of the least square method; In the three commonly robust M estimation, the IGG-Ⅲ’s robust effect and efficiency were better than Huber and Danish method.And the IGG-Ⅲ was easily achievable.

GPS/Beidou integrated positioning; relative positioning; iterative method; IGG-Ⅲ; efficiency

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.006

2016-04-07

海岛(礁)测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室资助项目(编号:2014B02;2015A01); 山东省高等学校科技计划项目(J13LH04); 测绘公益性行业科研专项经费资助项目(201512034); 海洋公益性行业科研专项经费资助项目(201305034)

P228.4

A

1008-9268(2016)04-0026-05

苗维凯(1993-),男,山东潍坊人,主要研究方向为GNSS数据处理。

联系人： 苗维凯E-mail:mwk666666@126.com