具有免疫应答的HIV感染模型的稳定性

田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大学数学与计算机科学学院， 山西　大同　037009)



具有免疫应答的HIV感染模型的稳定性

田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大学数学与计算机科学学院， 山西大同037009)

建立具有HollingII感染率且考虑免疫应答的HIV模型，讨论系统解的非负性和有界性，得到确定模型动力学性态的基本再生数，最后通过分析模型在平衡点处相应的特征方程，利用微分方程基本理论，证明模型在正平衡点处是局部渐近稳定的。即人类免疫缺陷病毒HIV将在个体体内持续存在，并且免疫应答会持续起作用，并用数值模拟验证结果。

病毒感染；稳定性；免疫应答；正平衡点

引　言

目前，传染病仍然是人类身体健康的一大公敌，因为一些传染病传播速度快，直接影响到人类的生存和发展。人类免疫缺陷病毒HIV是一种感染人类免疫系统细胞的慢性病毒，属于反转录病毒的一种。1983年，人类免疫缺陷病毒在美国首次被发现。该病毒破坏人体的免疫能力，导致免疫系统失去抵抗力，从而导致人体感染各种疾病。HIV主要攻击人体的T淋巴细胞系统，一旦侵入机体细胞，病毒将会和细胞整合在一起终生难以消除[1-5]。因此，建立传染病的动力学模型，研究其发病原因，流行规律，尤其是找寻相应的防治措施和预防策略，已成为当今世界需迫切解决的一个重大问题。国内外诸多学者在这方面也做了大量的研究[6-17]。为了描述易感染细胞、感染细胞以及病毒颗粒之间的关系，在1996年建立了基本的病毒动力学模型[4]：

(1)

其中，x,y,z分别表示健康细胞、感染细胞以及病毒颗粒的数量。健康细胞的产生速率是常数λ，死亡速率为ax，健康细胞被感染的速率为βxz，死亡率为by，病毒颗粒的产生速率为cy，死亡率为dz。

然而考虑到病毒产生时存在时滞，并且对于细胞的感染率多考虑的是双线性函数，因此，文献[6]建立了时滞动力学模型：

(2)

其中，τ表示受感染细胞释放出病毒的时间，其他参数与模型(1)有相同的含义。

要为病毒感染提供更精确的模型，必须考虑免疫应答。因为病毒感染后，机体会产生控制或者消除疾病的免疫应答。当病毒进入易被感染的细胞后，机体中的巨噬细胞等会首先起作用杀死病毒，然后是CTL免疫细胞和抗体起作用，CTL免疫细胞的作用至关重要。因此，在研究病毒感染的模型中引入免疫应答项是非常必要的[11-17]。文献[15]研究了一类具免疫应答和非线性感染函数的时滞HIV感染模型的全局稳定性，在模型中引入了概率。文献[16]建立了具有免疫反应的时滞HIV模型：

该模型得出免疫时滞能影响模型的动力学性态，随着时滞的增大，稳定性开关发生，周期解出现。随着时滞的进一步增大，出现一系列Hopf分支，最终使得正平衡点不稳定。文献[17]提出模型：

说明了时滞对正平衡点稳定性的影响。本文在文献[6，16-17]的启发下，研究具有CTL免疫应答的动力学模型：

(3)

1　基本性质

假设系统(3)的初值为x0=x(0)>0，y0=y(0)≥0，v0=v(0)≥0，z0=z(0)≥0，根据泛函微分方程的基本理论，系统(3)的所有解都是非负的，且是有界的。即有如下的结论：

定理1在上述初始条件下，系统(3)的所有解都是非负的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

证明解由系统(3)的每一个方程得：

显然x(t)>0，z(t)≥0，若y(t)>0，则有v(t)>0成立。

2　正平衡点的稳定性分析

证明系统(3)在E*处的线性化方程组为：

因此，系统(3)在E*处的特征方程为：

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

其中，

(A+B+μ)(μA+μB+AB+M-N)-

μAB+aN-M(μ+B)=

μA2+μB2+μ2A+μ2B+A2B+AB2+

2μAB+AM-(A+B+μ)N+aN

又

μA-N=

于是有μ2A-μN>0，μA2-AN>0，μAB-BN>0成立，所以a1a2-a3>0，且

(A+B+μ)[μA+μB+AB+M-N]·

[μAB-aN+(μ+B)M]-

[μAB-aN+(μ+B)M]2-(A+B+μ)2μBM=

(A+B+μ)AB(μAB-aN)+

μB(μAB-aN)(μ+B)+

(μA-N)MB(A+B)+MAB3+

(μA-N)μM(A+μ)+

(μA-N)(μAB-aN)(A+μ)+

MμAN+(μA-N)μAB2+AM(μAB-aN)+

MA2B2+aBMN+μAM2+ABM2+(B-a)aN2

所以由Routh-Hurwitz定理得，系统(3)在E*处的特征方程的所有根都具有负实部，故平衡点E*局部渐近稳定。

3　数值模拟

给定参数s=25，a=0.03，β=0.001 445 3，b=0.32，p=0.05，c=3.2，μ=1.8，q=0.2，k=0.3。

图1数值模拟图

从图1形可知，模拟结果与定理2的理论结果一致。该系统的轨迹倾向于感染免疫平衡点E*=(805.12,1.5,2.67,4.88)，也就是在这种情况下，病毒感染是慢性的，但同时免疫应答是持久的。

4　结束语

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StabilityofaHIVInfectionModelwithImmuneResponse

TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia

(SchoolofMathematicsandComputerScience,DatongUniversity,Datong037009,China)

AHIVmodelwithHollingⅡinfectionrateandimmuneresponseisbuilt.Thenthenonnegativityandboundednessofthesolutionarediscussed,andthebasicreproductionnumberwhichdeterminesthedynamicalbehaviorsoftheinfectionmodelisobtained.Finally,byanalyzingcorrespondingcharacteristicequationatthepositiveequilibrium,itisproventhatthepositiveequilibriumislocallyasymptoticallystable.Thatis,HumanImmunodeficiencyVirus(HIV)persistsinbodyoftheinfectedindividuals,andnumericalsimulationsarecarriedouttosupporttheresult.

virusinfection;stability;immuneresponse;positiveequilibrium

2016-03-07

国家青年科学基金项目(11301312)；山西大同大学青年科学基金项目(2014Q10;2015K5)

田海燕(1984-)，女，山西朔州人，助教，硕士，主要从事微分方程方面的研究，(E-mail)tianhaiyan668@163.com

1673-1549(2016)03-0096-05

10.11863/j.suse.2016.03.20

O175

A