一题多变，搞定“围圈”

□山中月　章瑞峰

一题多变，搞定“围圈”

□山中月章瑞峰

一元二次方程是解决实际问题的重要模型，也是初中数学的一个重要内容.下面我们借一道“围圈”习题变式，感受一元二次方程解决实际问题的便利.

例题如图1，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另外三边用40m长的篱笆围成，求鸡场的长和宽.

图1

解析：设AB长为x m，则BC长为（40-2x）m，依题意可列方程

x（40-2x）=150，

整理可得（x-5）（x-15）=0，

解得x1=5，x2=15.

当x=5时，BC=40-2x=40-2×5＞18，

当x=15时，BC=40-2x=40-2×15＜18，

∴x=15.

故鸡场的长是15m，宽是10m.

点评：运用一元二次方程解决这类“围圈”问题时，一定要根据题目中的隐含条件“墙长18m”，对与墙平行的一边的长进行检验，看“BC”边是否符合题意.

变式一：如果“墙长18米，篱笆长40米”的条件不变，能否围成面积为250m2的鸡场？

解：假设能围成面积为250m2的鸡场，则

x（40-2x）=250，

整理得x2-20x+125=0.

Δ=（-20）2-4×1×125＜0，

方程无解，故不能围成面积为250m的鸡场.

点评：解决此类“判断型”问题，可假设存在等量关系，从而建立一元二次方程，通过判断方程是否有实数根，从而判定该等量关系是否存在.

变式二：如果“墙长18米，篱笆长40米”的条件不变，要使所围鸡场面积最大，该鸡场的长和宽分别是多少？

解：设鸡场面积为Sm2，AB= x m，BC=（40-2x）m，

则S=x（40-2x），

整理可得S=-2x2+40x，

BC=40-2x=40-2×10＞18，不符合题意.

由a=-2＜0可知，抛物线开口向下，当0＜x＜10时，S随x的增大而增大，当x＞10时，S随x的增大而减小，即当x取最小值时，所围鸡场面积最大.

由题意可建立一元一次不等式

解得11≤x＜20，

∴当x=11时，S有最大值，此时BC=40-2×11=18（m）.

点评：涉及“极值”问题时，通常构造二次函数模型来解决.

应注意的问题是：

1.紧扣显性条件和隐含条件，准确求出自变量的取值范围；

变式三：如果“墙长18米，篱笆长40米”的条件不变，且在BC边上开一个2米长的门，要使所围鸡场面积最大，要求鸡场的长和宽.

图2

解：如图2，设鸡场面积为Sm2，AB=x m，BC=（40-2x+2）m，

得12≤x＜21.

此时AB=12m，BC=18m.

点评：解决此类“开门”问题，审题是关键.如图2，“开门”的实质是在不改变篱笆长度的基础上，将BC长度增加了2m，由原来的x m变为（x+2）m，相应的面积也发生了变化.同样不能忽视题目中的隐含条件.?