基于高考全国卷的立体几何复习策略探究

冯艳玲齐　瑾谢定亮

（1.三明市第九中学，福建 三明 365001；2.三明第一中学，福建 三明 365001）

基于高考全国卷的立体几何复习策略探究

冯艳玲1齐瑾1谢定亮2

（1.三明市第九中学，福建 三明 365001；2.三明第一中学，福建 三明 365001）

立体几何是高考中的主要考查内容之一。文章从对福建卷和全国卷关于立体几何在考纲要求、考点分布、试题特点等方面的差异的比较，从而在基于高考全国卷的基础上探究立体几何的有关复习策略。

立体几何；福建卷；全国卷；复习策略

2016年福建省高考将采用全国统一命题试卷，对新高考，教师必须认真研究全国教学大纲、考试说明。加强对近年高考试题的研究，既要对全国新课标试题进行纵向比较，也要与福建省近年的高考数学试卷进行横向对比，寻共性，找差异，反思热点问题，调整复习策略，使高考复习更具有实效性。

一、基于宏观层面上的全国卷与福建卷的异同比较

（一）相同点

关注基础知识、技能与基本思想方法的考查；强调能力立意，突出对数学学科能力的考查；考点设置基本相同，重点考查六大主干知识；不过分追求“新”“异”，着重在数学学科本质。

（二）两卷差异

1.试卷特点。全国卷每年的高考数学试卷“既全面又突出重点，综合考虑学科整体高度以及思维价值，基于知识的交汇处设计试题，依托数学知识深刻考查数学思想方法，命题立足于能力立意，加强试题的基础性，全方位考查综合数学素养”。福建卷保留了课改以来“注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想方法的命题特色和优点，试卷知识覆盖面广，各模块的考查权重合理，重点突出，以基础知识为依托，全面考查了考生的数学能力和数学思想方法”。

2.题型、题量对比。全国卷文、理科试卷结构一样，都是12道选择题、4道填空题、5道必做的解答题、1道选做题（3选1）。福建卷文、理科的题量不同，且文科没有选考题，理科选做题（3选2）。全国卷文理科两份试卷的相同考点，基本上是相对应的，只是题序上的变化；理科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），文科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），相同的考点也基本上是相对应的，只是题序的变化，据此可以看出全国卷每年的四份卷子之间是有一定的内在联系。

3.信度、效度、难度、区分度对比。高考在信度、效度、难度、区分度等方面的要求，决定了高考数学试题要有必要的长度（很多学生做不完），适当的难度（有些学生不会做），一定的区分度（甄别不同思维层次考生）等，以保证高考的客观、公平、公正，有利于高校选拔具有学习潜力的优秀生。全国卷试题难点分散，中等题较多，容易题较少，难题不怪，试卷的思维量更大；而福建卷难点也有分散，但中等题较少，容易题较多，难题“剑走偏锋”。由此产生的实测结果可能会是两种截然不同的情况：全国卷的考生，分数的分布会比较分散，对数学能力不同的考生，会真正起到甄别区分的作用，对优生有利，对中等生可接受，对差生无话可说。福建卷的考生，分数相对会比较集中，对极少部分的优生有利，中等生不能体现数学的优势，差生的分数相对不会很低。

二、基于微观层面上的全国卷与福建卷的异同比较

在实行全国卷的基础上，基于对全国卷和福建卷在立体几何内容的对比，寻找二者之间的差异与共同点，寻找契合学校实际情况的复习策略尤为重要。以下从三个方面进行探究：

（一）考纲要求

表1　考纲差异（理科）

（二）考点分布

纵观2011-2015年全国新课标Ⅰ卷高考试题，对立体几何部分的考查主要集中在以下几个热点问题：

1.突出三视图问题的考查。全国新课标卷每年都考查三视图问题，从考查形式来看，以选择题、填空题为主对有关三视图试题进行分析，可以感受到全国新课标卷对空间想象能力的考查比福建卷要求更高。从全国新课标卷来看，这部分内容主要考查以下两个方面的内容：一是几何体三视图的识别与判断；二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面积、体积的求解问题。（例2014高考课标Ⅰ理12）

2.突出球类问题的考查。球作为优美几何体的典型代表，在新课标全国卷中屡屡出现。近5年来，全国新课标Ⅰ卷只有2014年没有考查球的问题，其他年份都考，而福建卷很少涉及在以球为载体的问题中：一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算；二是考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（例2014高考课标Ⅰ文16）

3.注重对平行、垂直特别是垂直关系的考查全国新课标Ⅰ卷文理科解答题将垂直关系作为考查的重点近5年来，全国新课标Ⅰ卷在解答题中都考查垂直关系，未涉及平行问题，且5年中有3年都考查了直线与直线垂直的判定全国新课标Ⅱ卷常考查平行问题。（例2013高考课标Ⅰ理18）

4.突出对空间角的考查。新课标卷对立体几何解答题的考查，一般分成两部分，第一部分重点考察了空间点、线、面的位置关系，第二部分重点考察空间角的计算问题；对空间角问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的考查，2011-2015五年中有三年都考查了二面角问题。全国新课标卷的立体几何解答题基本上是设计“两问”，且设问比较直接，而福建卷常设计成探究性试题，并且常有层次分明的“三问”设计。

例1（2012高考课标Ⅰ理19）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1， D是棱AA1的中点，DC1⊥BD

（1）证明：DC1⊥BC（2）求二面角A1-BD-C1的大小

例2（2012年福建卷理18）

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点。

（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上能否存在一点P，从而DP∥平面B1AE？如果存在，求AP的长；如果不存在，请说明理由

（Ⅲ）如果二面角A-B1A-A1的平面角大小为30°，求AB的长

此外，全国卷和福建卷在立体几何条件的表述上存在一定的差异：全国卷经常出现“直棱柱、正棱柱、正棱锥”等概念，而福建卷从未涉及这些概念。

（三）试题特点

全国新课标卷将立体几何学科知识和能力融为一体，坚持推陈出新，从不同角度诠释了立体几何教学的价值取向，形成了鲜明的立体几何命题风格和试题特点。

对近5年全国新课标Ⅰ卷和福建卷考点进行比较分析，不难发现，全国新课标卷对立体几何内容的考查具有如下特点：

1.结构稳定，难度适中。近5年来，全国新课标Ⅰ卷在题量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的试题都是“两小一大”，分值22分；在考查两个小题的年份，文理科至少都有一个小题相同；解答题位置都在第18题或第19题，文理科试题大都成姊妹题，难度比较稳定。

福建卷题量一般是“一小一大”，分值在17分左右，但难度波动较大，例如2011年理科卷立体几何位置在第20题，2013年理科卷立体几何位置在第19题，而2014年和2015年理科卷立体几何位置都在第17题。

2.贴近教材，推陈出新。全国新课标卷的命题始终坚持“立意时处于几何直观，设计时贴近教材”的特点，涌现了一批来源于教材，又高于课本，画龙点睛，寓意升华的立体几何好题［1］。近几年全国新课标卷的一些立体几何试题，其解题思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，这既是课本基础知识、典型例题和习题的提炼、类比、升华、纵向延伸、横向拓展的结果，也展现了教材良好的示范作用。

于教材的“蓝本”高考试题，让考生感到熟悉亲切，很好地凸显了以教材为核心的导向作用，激发学生对教材知识的学习热情例人教A版2-1第109页例4的四棱锥模型是立体几何解答题的经典模型，2010年、2011年、2014年高考全国新课标卷立体几何解答题就以此背景命制。

教材作为“蓝本”的高考试题，让考生感到熟悉亲切，很好地凸显了以教材为核心的导向作用，激发学生对教材知识的学习热情。

3.能力立意，彰显选拔。全国新课标卷立体几何试题以知识为载体，以能力立意为目标在《全国考试大纲》中列举的几种能力，如抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力和应用与创新意识等在立体几何中都得到了很好的体现，其中侧重考查了空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力［2］。

4.关注数学文化，适度创新。全国新课标卷立体几何试题体现了“大稳定、小创新”的设计理念，强调数学的应用意识，关注对考生文化素养的考查，体现数学史在教材中的重要作用。

例3（2015全国新课标Ⅰ卷理6）《九章算术》是中国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

本题通过《九章算术》中的经典问题，考查考生对圆锥的体积计算，考查考生的阅读能力。在考查基础的同时，适度创新，题目新颖难度不大，给考生发挥自己的真实数学水平提供了很好的平台，可引导学生形成良好的数学文化素养。

三、基于全国卷的立体几何复习策略探究

立体几何是考查空间想象能力的重要载体，涉及的问题包括识图与画图、证明与计算等正所谓茅檐长扫净无苔，花木成畦手自栽，一水护田将绿绕，两山排闼送青来因此，在高三复习教学中，教师必须先找准“出发点”——立足考纲，了解命题特点，再努力尝试占领“制高点”——决胜高考。

（一）把握考试要求，了解命题特点，提高备考实效性

吃透考纲，明确复习方向《全国考试大纲》《全国考试说明》是指导高考命题与复习教学的权威性文件，要认真研读、仔细推敲，准确把握定位和要求，做到四点：掌握各部分考查的知识点；清晰各知识点的要求层次；明了哪些知识是重点要求的；提升其中蕴含的数学思想、数学能力及其考查要求。

了解命题特点，找准复习“效”度有效的复习教学不仅要弄清高考考什么，还要明确怎么考，因此必须对近年来的全国新课标卷进行研究。通过研究，帮助教师了解立体几何的命题特点，有效指导立体几何教学中“度”的把握，提高复习教学的针对性和实效性

文理科通用的考点中，要重点复习的内容有：简单几何体的三视图与直观图；简单几何体的表面积与体积的计算；线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质。

理科选修内容要重点复习用空间向量证明平行与垂直关系、计算各类角等问题，还应兼顾“一题两法”，形成基本技能。

（二）立足基础，熟练掌握基本解法

“授人以鱼，不如授之以渔。”传授学生如何寻找解决问题的方法是复习过程中的重中之重，通性通法的意义在于对于某些具有规律性和普遍性的常规解题模式以及常见的数学思想方法的进行总结，是解决问题的基本方法，是学生着重掌握的方法［3］。

教师要按 《全国考试大纲》《全国高考考试说明》对立体几何内容的要求，从知识的内在联系出发，引导学生将立体几何知识点串联起来，促进知识的系统化、条理化、综合化，提高学生灵活运用有关知识分析问题、解决问题的能力。

（三）激活课本，用足教材

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，教材是思想之基，方法之源，问题之本，思维之花。

立体几何复习要实现学生知识的系统化，思想和方法的强化，能力的提高，光靠利用教辅资料进行题海强化是不够的，必须紧扣教材这一“基和源”。

首先，要准确理解教材，要上升到思想和方法的角度审视教材，对教材中所讲的基本知识、基本方法、例题和习题，要认真研究，准确把握。

其次，应通过对课本例习题的变式、拓展，挖掘教材例（习）题的潜在功能，从中提炼相应的思想方法，准确把握立体几何的本源和本质，提高复习效益。

在复习过程中，教师要引导学生着眼于最近发展区，对例题进行深入挖掘，加工改造，为学生创造带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥学生潜能，超越最近发展区达到更高发展区。

挖掘教材例（习）题的潜在功能通常包括：

1.一题多变、一题多解或多题归一，进行哲理的升华；

2.反思命题的逆命题是否成立；

3.改变命题的条件与结论，增加或减少条件，观察结论变化情况等。

总之，基于教材、研究教材、提炼教材，从学生的角度看教材，从高考的高度解析教材，提高对教材的认知水平，进而大幅提高复习有效性。

（四）突出转化与化归思想的运用

转化与化归思想就是在研究和解决数学问题是采用某种方式，借助某种函数、公式等将未知的问题转化为已知问题；将抽象的问题转化为直观问题；将复杂问题转化为一个或几个简单问题，从而让问题化繁为简、化生为熟、化难为易。

化归与转化思想是立体几何中处于中枢地位的数学思想包含了位置关系之间的转化，例如面与面平行、线与面平行、线与线平行的相互转化，面与面垂直、线与面垂直、线与线垂直的相互转化等等；以及三维向二维的转化，例如空间角化为平面角，空间距离化为平面距离，空间度量化为平面度量等等［4］。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微简言之孤数则不长，独形则不生。”因此在解决立体几何问题时，解题时都应该根据已知条件，通过想象对文字语言、符号语言转化为图形语言，从而得到图形中相关几何元素的位置以及数量关系，再进行适当的变换。

这一过程充分体现了数学语言的相互转化，体现了数与形、形与形的相互转化、相互渗透、交相辉映、相映成趣。

总之，在接下去的立体几何复习中，只要教师坚持对“双基”采取拉网式的复习与重点、难点突破相结合的方法，采取有目标、有层次、分梯度、巧思维的训练，注重知识与方法的整合，注重提升能力的培养，强化数学思想，拓宽技巧与思维的道路，就能以不变应万变，任凭风浪起，稳坐钓鱼台，从容应对高考。

［1］朱天斌.知识交汇处命题思维探究［J］.高中生学习：高三文科，2015（Z1）.

［2］袁春仙.透析大纲探究能力——立体几何命题对高考能力要求的体现［J］.中学数学：高中版，2014（12）.

［3］陈元章，林新建.新课程数学高考复习的辩证之道［J］.数学通报，2013（7）.

［4］杨恩彬，柯跃海，陈清华.化归与转化思想的数学能力统领功能探析［J］.福建中学数学，2013（10）.

G420

A

1673-9884（2016）05-0058-04

2016-03-10

福建省教育科学规划一般课题（FJCGJJ12-179），福建省教育科学“十二五”规划2015年度一般课题（FJJK15-461）

冯艳玲（1985-），女，福建永安人，三明市第九中学二级教师。