对农村小学高年级学生解决一道开放题的调查研究

项慧玲

【摘要】笔者采用书面测验、访谈等多种方法对农村小学高年级学生解决“开放情境中，求长方形面积”问题的特点进行一次调查分析。结果表明：①农村小学高年级学生解决这一问题时缺乏开放意识；②农村小学高年级学生大部分思考问题不全面，同时解决问题能力存在差异；③农村小学高年级学生解决这一开放题时策略呈现多样化。④农村小学高年级学生解决问题时答案的表述方式呈现个性化 。为此，提出如下教学建议：①在课堂教学中引进开放题教学，培养开放意识的形成；②重视培养学生数学知识的思维性，渗透序列化思考的思想；③数形结合，辨证运用形象思维和抽象思维解决此类数学问题，尽量让差异的弱势群体跟上步伐；④正视差异、尊重个性，提倡解决问题策略的多样化。

【关键词】解决一道开放题 农村小学高年级学生 调查 思考

一、问题的提出

开放性的问题是富有极大教育价值的一种数学问题的题型，它没有固定、现成的模式可循，学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探讨，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成，再者开放性问题具有宽松的解题环境和答案的多样性，所以学生可以根据自己的经验、知识水平、认知能力，按自己的意愿选择思维方式解决问题，这样不同的学生可以体验不同的数学，不同学习水平的学生均能有所收获。应当说解决开放性问题的能力是数学中一类比较重要的能力，它适应着当今社会对人才培养的需求，但是现在很多时候教材资源中涉及的开放性问题不多，学生也习惯了答案是唯一的，如果一个问题有很多种答案而且没有任何提示，我们的学生是只写出一种还是能把所有的都找出来？不同年级的孩子解题的情况是否会有所不同？他们在解决这个问题时的能力特点和策略又是怎样的？这些问题我们并不是十分清楚。针对以上问题，本调查采用书面测验法、访谈法等多种方法对农村小学高年级学生解决“开放情境中求长方形面积”问题的特点进行一次调查研究，试图从学生的解题中发现这一年龄段学生解决此类数学问题的特征。

二、调查的方法

（一）调查内容

用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，长方形的面积是多少？（请写出尽可能多的情况，并尽量写出过程。）

如果你认为解题已经完成，请在合适的（ ）中打√。

你认为这个题目：很有趣（ ）、比较有趣（ ）、没有趣（ ）。

你认为这个题目：很 难（ ）、 比 较 难（ ）、不 难（ ）。

你觉得自己写出全部的方法了吗：是（ ）、不是（ ）。不是的请写出理由。

（二）被试选择

笔者选取了浙江省XX市XX镇小学的高年级，并随机抽取五、六年级的学生各一个班，人数分别是51、49人，年龄分别分布在11——13岁左右。

（三）施测方式

2015年12月14日下午，在学生不知情的情况下，由班主任协助组织进行测试。在测试前，不给学生任何解题提示，让学生独立解答，并规定时间为20分钟。学生自己认为解题已完成，把测试卷交给老师。学生在解题过程中没有任何讨论和交流。基本反映了学生独立解决这一问题的真实水平。测试后，立即对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，选择部分学生一一访谈。测试与访谈在同一下午完成。

（四）问卷发放与回收

本次研究共发放测验卷100份，回收有效卷100份，有效率100%。

（五）数据处理

经过整理、分析，所有的测查数据统一采用SPSS 13.0中文汉化版软件进行统计分析。

三、结果与分析

1、农村小学高年级学生在解决此类问题时缺乏开放意识。

在测试的前5分钟里，学生一直迟疑着不敢下笔，在课后访谈那些解题比较完整的学生，有不少人表示 “因为有很多个答案的，不知道写哪个好”。而在卷面上有4%人只写了6×6，没有其他算式，通过访谈得知，他们认为24÷4=6，这个特殊长方形的长和宽是确定的，而1和11、2和10……那些数字不确定不能写下去，这也反应出农村小学高年级学生对于解决开放性问题时开放意识的一种缺失。

2、农村小学高年级学生大部分思考问题不全面，同时解决问题能力存在差异。

分析一：整数范围内思考的学生少于6种答案的人数里面，五年级有12人是独缺6×6，六年级有5人是独缺6×6；同时考虑整数、小数范围，五、六年级共10人没考虑6×6。通过访谈学生给出的理由有“正方形不是长方形”“长和宽相等了，就不行了”这表明在这100个学生当中，有27%的学生对这两种图形间的关系还不是很清晰，或者有些干脆认为正方形不是长方形。

分析二：从表二中不难看出：五、六年级学生解决问题的能力存在显著性差异，而且六年级学生解决开放题的能力高于五年级学生。研究表明：伴随着知识的增长、思维能力的提高、学习经验的积累，解决开放题的能力一般情况下是会逐步提高的。

分析三：在整理测查情况时，笔者发现：五、六年级中有40人是有序思考解答的，而且这40人都能在整数范围或者整数、小数范围内正确地考虑到所有情况。其中五、六年级能真正表达出所有结果情况的20人中全都是有序思考解答的，其中五年级2人，六年级18人。从上述数据中可知：随着年级的升高，学生有序思考的人数明显增多，而且有序思考与解题的正确率有着密切的关系。

3、农村小学高年级学生解决开放题策略呈现多样化。

笔者通过对五、六年级学生的测试卷进行分析，发现学生解题策略是多样的。学生在解决测试题时，主要应用了以下几种策略（学生解题策略附末页）：

策略一：查漏補缺法，无序地思考，想到哪个写哪个。例如，长是10厘米，宽是2厘米，面积为20（平方厘米），长是7厘米，宽是5厘米……

策略二：在解答时利用画图来帮助分析。

策略三：先设定宽为几，再利用周长求出长，最后算面积。

策略四：在解答时，把这个长方形先看作正方形，再把一组对边逐渐缩短，另一组对边相应逐渐增长，明显呈现出按一定顺序思考。

策略五：按“长+宽=周长的一半 ”这样的维度来分析，再进一步计算面积，呈现出明显的有序性，大多数学生采用这个方法。

从上述解题策略中，我们不难看出学生解题策略的多样化，其中采用策略五的同学，六年级比五年级多出了约15%，随着年级的升高、知识的增长，小学高年级学生解决问题的策略逐步向抽象化靠近，这个年龄段的孩子已经能够从文字的描述中抽象出相应的几何图形，并能正确地分析出其中隐含着的数量关系进行解答，能够用抽象的算式来解释具体的几何环境中的数量关系，能够对空间观念（主要指二维的形状、大小）进一步理解，对几何特征进一步内化，而形象思维只是作为一些孩子的辅助思考。由此可见，这一年龄段的学生已有了一定的逻辑推理能力，这种能力的概括性和自觉性正逐步发展起来。部分学生已经能够调用出自己已有的数、式、几何常识并结合一些数学能力来分析和解决问题。但是从整体水平看，有相当一部分学生还是需要直观形象思维的辅助来解决此类开放性的问题。

4、农村小学高年级学生解决问题时答案的表述方式呈现个性化 。

此外，笔者还对问题的难度认定与有趣度及解决问题的正确率的关系、男女生在解题正确率上的差异等方面进行了研究。结果发现：在“儿童最近发展区内”，“难度”与“有趣度”成正相关；在一定条件下，难度与正确率成负相关——即难度越低，正确率越高；难度越高，正确率越低。达到“最底限”的情况，男生优于女生；但是达到“上限”的情况，女生却优于男生。由此可见，小学中高年级女生解决问题的能力存在两极分化情况。

四、建议与对策

1、在课堂教学中引进开放性问题，培养开放意识的形成

在结果与分析中的一中我们可以看出，之所以高年级学生在具备相关解题能力的基础上，不敢下笔，其根本原因就是缺乏开放意识，这其实跟教师前期的教学是相关的，所以在中低段的数学课堂中，我们根据学生所掌握知识的情况，应当适当引进合适的开放题，培养学生开放意识的形成，可以从以下几个方面考虑。一、用开放性问题引入新课，启发引导学生较快地进入开放性的学习情境；二、课堂结构设计中适当融入开放性问题，通过“开放”让学生自己去尝试、探索，达到培养学生“开放意识”的目的；三、习题、例题的引申开放化。如在低段可引进 “养鸡场数数把9只小鸡关到3个笼子里，要使每只笼子里都有鸡，可以怎样关？” ； 在中段的数学课堂教学中可引进这样一些题目“在一条笔直的公路上，小明和小刚同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分行200米，小刚每分行300米。多长时间后，两人相距5000米？”在这样一个开放性的问题中，不同的运动方向会产生四种结果，如：相向而行——（50000+500）÷（300+200）=11（分）；相背而行——（50000-500）÷（300+200）=9（分）；同向而行——（50000-500）÷（300-200）=45（分）或者（50000+500）÷（300-200）=55（分）。在不固定的思维方向和答案的多样化中，为学生的思考提供发散的空间，引导学生形成开放意识。

2、重视培养学生数学知识的思维性，渗透序列化思考的思想

在解答开放题的过程中，从现实条件到用数学语言表述是一个真正抽象化和简单化的过程，设计的思维包括：把原来的知识、技能分组，以形成解决目前问题的一种整体的技能，或对原来的技能进行修正以解决目前的问题，就针对教学现状而言，我们需要充分培养学生数学思考、应用知识和解决问题的能力。而在这其中序列化思考是解决问题的一种重要策略，它可避免解决问题时答案的重复和遗漏以及思维的严密性。从结果与分析的二中我们可以得到结论：有序思考与解题的正确率有着密切的关系，所以在中低段的《排列组合》《烙饼问题》《植树问题》《对策问题》等相关内容的教学中，应当高度重视渗透序列化思考的思想，以培养学生思维的条理性和有序性。

3、数形结合辨证运用形象思维和抽象思维解决此类问题，尽量让差异的弱势群体跟上步伐。

数形结合既是一种思想，也是一种方法。其本质就是抽象思维与形象思维结合，以形助数，或以数助形，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化。因此，在数学教学中，更应突出数形结合教学，强调图形语言和符號语言结合，其中图形语言可以通过直观加深学生对所学内容的理解，为文字语言或符号语言提供直观表象，让学生充分利用形的优势来理解数。

从调查情况看，小学高年级学生抽象的逻辑思维已有了一定的发展，但仍需要形象思维的辅助。这进一步印证了皮亚杰的“儿童阶段发展学说”。而长方形的面积是平面几何中的一个重要内容，小学生在平面几何中的抽象思维发展是一个薄弱环节，学生的空间观念有待于加强。教师必须在学生获取知识和解决问题的过程中，渗透数形结合思想，重视引导学生灵活运用抽象思维和形象思维，将两种思维方式有机结合，通过观察、操作、归纳、类比等过程，获得具体的描述性结论，初步形成学生的推理能力和数学理解能力，有效提高学生学习数学的效率和能力。如：在几何学习中，让学生有较多的机会通过内容丰富的图形、符号感知、实物操作等探究性活动，不断丰富归纳和类比的经验，从而促进学生思维能力的发展，同时学生的空间想象能力也得到了充分发展。

4、正视差异、尊重个性，提倡解决问题策略的多样化

开放题教学侧重学生解决问题的思路和策略而不是问题的答案，侧重学生思考的过程而不是简单的结果。从测查结果我们不难发现：小学高年级学生已经有了基本的数学能力，并能够运用这些数学能力参加学习活动。同时，学生解决问题的策略已呈现多样化，但解决问题的能力存在差异。作为教师，我们应正确看待学生在个性品质方面呈现出的差异性，允许学生用自己的方法学习数学，因为每个人有不同的认知方式和解决问题的策略，教师可以引导学生用适当的方式理解数学问题，同时也应允许学生用自己的方法去探索和解决问题。我们可以引导学生对不同的方法加以比较，但不应把某一方法强加给学生作为必须使用的方法。让我们共同关注学生的差异，鼓励和尊重学生多样性的独立思维方式。重视学生与同伴的交流，让他们在交流和比较中找到适合自己的解决问题的一种或几种方法，促使每一个学生在原有的基础上有所发展。

从访谈中，我们发现：太容易、没有挑战性的题目，学生没有多大兴趣。因此在教学实践中，我们不妨适度引进开放性问题，适应不同层次的学生，提倡解决问题策略的多样化。让我们的教学内容更富有挑战性，避免重复机械的练习题。如此，对培养学生学习数学的兴趣和数学思维能力的发展有一定的帮助，并且有利于知识的灵活运用，有利于数学观念的升华。

【参考文献】

《数学课程标准》北京师范大学出版社出版 2001年第1版

《学会数学的思维》成尚荣 主编 江苏教育出版社出版 2001年第1版

《开放题测试与分析》朱乐平 主编 东北师范大学出版社出版 2004年第1版

《小学儿童如何学数学》孔企平 主编 华东师范出版社出版 2001年第1版

《小学数学教学心理学》 沃建中、林崇德等著 北京教育出版社出版 1998年第2版

《小学生找出“较复杂图形中线段”的解题策略研究》 朱乐平著