函数解析式的求法探究

张娟

由实际问题建立函数关系式，一般可通过研究自变量与函数间的等量关系，再确定自变量的取值范围。根据条件求函数表达式是高中数学的重要内容，也是教学难点。对此，本文将介绍几种求函数表达式的常用方法。

1.定义法（配方法）

由已知条件f[g（x）]=F（x），可将F（x）改写成为g（x）的表达式，然后以x代g（x），便得f（x）的表达式。

例1已知f（）=，求f（x）的表达式。

解∵=（）2-+1，∴f（x）=x2-x+1（x≠1）。

2.待定系数法

由未知出发的转化，通常设一个函数，来求这个函数的系数。

例2已知f（x+2）=x2+x+2，求f（x）的表达式。

解设f（x）=ax2+bx+c，

∴f（x+2）=a（x+2）2+b（x+2）+c=ax2+（4a+b）x+4a+2b+c，

又f（x+2）=x2+x+2，比较同类项的系数，得a=1，

4a+b=-3，

4a+2b+c=5。∴a=1，

b=-7，

c=15。∴f（x）=x2-7x+15。

3.变量代换法

由已知条件f[g（x）]=F（x），可令t=g（x），然后反解出x=g-1（t）。代入F（x）即可得f（t）的表达式。

例3 已知f（ex-1）=2x2-1，求f（x）的表达式。

解 令t=ex-1（t>0），则x=1+lnt，代入已知，

得f（t）=2（1+lnt）2-1=2ln2t+4lnt+1，

即f（x）=2ln2x+4lnx+1（x>0）。

4.函数方程法

将f（x）作为一个未知数来考虑，建立方程（组），消去另外的未知数便得f（x）的表达式。

例4 已知af（xn）+f（-xn）=bx，其中a2≠1，n为奇数，试求f（x）的表达式。

分析 已知是关于f（xn）和f（-xn）的一个方程，利用n为奇数，用-x代x，

又得到一个f（xn）和f（-xn）的一個方程。

由这两个方程构成的方程组便可求出f（xn），即可得f（x）。

解∵af（xn）+f（-xn）=bx，①

以-x代x，又得

af（-xn）+f（xn）=-bx。②

解由①、②式构成的方程组，得

f（xn）·（a2-1）=b（a+1）x。故a2≠1，∴f（xn）=x，

即f（x）=。

5.参数法

引入某个参数，然后写出用这个参数表示变量的式（即参数方程），再消去参数便得f（x）的表达式。

例5 已知f（3sinx）=ctg2x，求f（x）的表达式。

解 可令x=3sinθ

y=ctg2θ，即x=3sinθ

y=csc2θ，消去θ便得y=（）2-1，

于是得f（x）=-（-3≤x≤3，且x≠0）。

6.特殊法

在已知条件中将某些字母（变量）取特殊值，使问题具体化、简单化，从而求得f（x）的表达式。

例6 已知f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），且f（0）=1，求f（x）的表达式。

解 可令x=0得f（-y）=1-y（-y+1），

再以x代-y，便得f（x）=1+x（x+1），

即f（x）=x2+x+1。

7.图象法

函数的图象是函数表示的一种形式，在解题过程中通常把函数图象改写成f（x）的表达式，数形结合是数学解题的常用的基本的思想方法。

例7 根据函数y=f（x）的图象，求f（x）的表达式。

解∵图象是线段，∴函数关系式是一次式，于是分段

可设 f（x）=kx+b，利用侍定系数法，

可得 f（x）=

x+1，（-2≤x<0）

x-1，（0≤x<2）