对置换群教学的新处理

杜海霞　潘燕玲

摘要：討论在教学中处理置换群的一种新的处理方法，以利于学生更好地理解教材内容。

Abstract： In this paper， a new method of permutation group teaching is introduced， which makes the student to understand these concept easily.

关键词：置换群；k-轮换；奇（偶）置换；阶

Key words： permutation group；K-rotation；odd （even） replacement；order

中图分类号：O152.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）07-0186-02

0 引言

置换群是人类最早研究的一类群，利用这种群，迦罗瓦成功的解决了高次代数方程是否可用根式求解的问题[1]。由于每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，在同构意义下，若把置换群研究清楚了，那么所有的有限群即完全被了解，故置换群是一类非常重要的群。正是由于它的重要性，引起了学术界的广泛关注，文献[2]研究了置换群群的循环指数，文献[3]研究有有界运动的置换群，给出了非单位元恰有两个运动的有极大次数的传递置换群的结构和分类，文献[4]给出了计算置换的乘法、置换的逆、置换的阶、置换的幂、置换的轮换分解、置换的奇偶性判断的C语言程序，文献[5]利用ONan-Scott定理刻画了3次自由次的拟本原置换群和二部拟本原置换群，并给出了一般3次自由置换群的描述，文献[6]研究了给定生成元集、给定群、给定阶的置换群的群图的作图方法，并给出若干计算机作图的实例，文献[7]确定Sn的元素的阶的集合On的第二种方法，同时给出了例子，文献[8]对素数幂次的本原置换群给出一个清晰明了的刻画。

教材[1]是目前各高校近世代数课程选用较多的一本优秀教材，它对置换群一节的处理是，先给出定义，再以定理形式给出相关性质，但对于初学者来说，总感觉逻辑性不是那么强，不知为什么介绍完定理1，介绍定理2，所以本人试着以例子引入并贯穿整节课的方式，给出一种新的处理方法。这样的处理有以下优点：

①以例子做主线，激发学生学习兴趣；

②可加深学生对所学过的知识的认识；

③可引导学生逐步掌握本节课所有内容。

为检验新处理方式的效果，笔者对所任教的12届数学与应用数学四个班的学生及13届数学与应用数学四个班的学生进行了比较教学，并对他们进行了问卷调查，剔除遗漏和错误等不合格问卷，获得有效问卷451份，经统计结果如表1、表2所示。

1 置换群教学的新处理

由凯莱定理可知，任何n阶有限群都同n元对称群Sn的一个子群同构。教材[1]就把n元对称群的任何一个子群定义为置换群。也就是说，置换群这一节主要介绍的内容，在同构意义下，可推广到一般抽象的有限群。我们在研究有限集合的置换时，有限集合中的元素是什么是无关紧要的。因此，为方便起见，这个集合的元素常用数码1，2，…，n表示，并且一般假设n>1。按照教材[1]，接下来给出k-轮换的定义，以及轮换相乘的性质，可一上来就讲这些理论，学生理解起来就会有困难，不知为什么要讲，讲这些有什么用，而通过现在的处理方式，就会避免这个问题。

首先，让同学们自己写出S4，写的过程会发现，4个元素的全排写起来并不是那么简单，关键是全写出来，书写很不方便，所以我们想，对于置换，是否有更简单的表示方法，且能把所有的置换区分开，不重不漏。这时，给出k-轮换的定义，学生就会很欣喜的接受，而且还会发现，S4中的24个元素，按照k-轮换的定义，我们只能写出21个，剩下的3个该如何表示？引导学生思考。此时，可以给出下面定理：

定理1：每个（非轮换）置换都可表为不相连轮换之积，每个轮换都可表为对换之积，因此，每个置换都可表为对之积。

更进一步，每个非轮换置换表为不相连轮换之积时，元素相乘的先后顺序是否可以颠倒？于是可得如下结论。

定理2：不相连轮换相乘时可以交换。

这样，用轮换和轮换的乘积来表示置换，在书写时非常方便。

接着，让同学们自己把S4的24个置换用轮换或轮换的乘积表示出来。这个过程，同学们又会发现，把每一个置换表示成对换乘积时，表示方法不是唯一的。例如：

（132）=（12）（13）=（31）（32）=（12）（32）（23）（13）；

（1432）=（23）（12）（14）=（34）（13）（23）=（23）（13）（23）（13）（14）。

认真观察会发现，同一个置换虽然有不同的对换分解，但各个分解中，对换个数的奇偶性必然相同，此即下面的定理。

定理3：每个置换表成对换乘积时，其对换个数的奇偶性不变。

这样，就有S4这个特例的结论推广到了一般的置换群。而且，顺理成章的给出奇置换与偶置换的定义。同时，进一步，我们还有结论。

定理4：一个n元置换群中的置换或者全是偶置换，或者奇、偶置换各占一半，且全体偶置换做成一个子群。

证明：设G为任意一个n元置换群。因为G必包含恒等置换，而恒等置换是偶置换，从而G必包含偶置换。

如果G中的置换全为偶置换，则结论已成立；如果G中的置换含有奇置换，任取其一，设为σ。并令A，B分别为G中全体奇、偶置换作成的集合，则由于σ与σ-1都是奇置换，从而易知φ：τ → τσ（？坌τ∈A）

是A到B的一个双射.因此，A与B元素个数相同，即JG中的奇、偶置换的个数相等，各占一半（从而还可知，此时的阶为偶数）。而且此时的全体偶置换作成子群显然。

以上的内容都是对置换群整体的把握，那么，对于置换群中的元素，及具体的每一个置换，从群的角度出发，其阶又该如何？观察S4，容易得出，（12）的阶是2，（123）的阶是3，（12）（34）的阶是2，于是，有以下更一般的判别方法。

定理5：k-轮换的阶为k，不相连轮换乘积的阶为各因子的阶的最小公倍数。

2 结论

上述处理方式，效果明显，通过学期期末考试可知，卷面中涉及置换群一节的内容，百分之九十七的同学都能很好的掌握。置换群是群论中很重要的一类群，本文只是根据个人理解，给出了一种在本期教学中实践效果很好的一种新的教学处理方式，而其更多的，适应性更广、更好的处理方式，有待我们进一步的研究。

参考文献：

[1]杨子胥.近世代数[M].三版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]王彦辉，方腾.树的计数[J].数学的实践与认识，2014，44（10）：169-175.

[3]陈云坤，黎先华.有极大次数的传递置换群[J].数学杂志，2013，33（1）：187-190.

[4]王积社.若干置换群问题的计算程序[J].电脑知识与技术，2013，9（5）：1041-1042.

[5]刘哲，余小芬，娄本功.3次自由次的拟本原和二部拟本原置换群[J].云南大学学报（自然科学版），2012，34（2）：125-128.

[6]王积社.置换群图及其作图方法[J].嘉应学院学报（自然科学），2012，30（2）：9-14.

[7]孙宗明.确定Sn的元素的阶的集合On的第二种方法[J].商丘师范学院学报（自然科学版），2014，30（3）：23-26.

[8]蔡迁，张华.素数幂次本原置换群的一个简明刻画[J].云南师范大学学报（自然科学版），2014，34（5）：6-10.