几何概型教案

孙丽君

（一）导入新课

复习古典概型的两个基本特点：

（1）所有的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？为此我们学习几何概型，教师板书本节课题几何概型.

问题1：

它是古典概型吗？

1、试验中的基本事件是什么？

2、试验中所有可能出现的基本事件有多少个？

3、每个基本事件出现的可能性相等吗？

4、得一等奖的概率与什么有关？

问题2：

如果让一等奖所在的区域变大或变小，那么指针

落在此区域的概率会发生怎样的变化？

几何概型

下图中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？

为解决这个问题，我们学习几何概型.

在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

（1）随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？

（2）试验1.取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？

（3）问题（1）（2）中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？

（4）什么是几何概型？它有什么特点？

（5）如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？

（6）古典概型和几何概型有什么区别和联系？

活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括.

讨论结果：（1）硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.每种结果出现的概率相等，P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）=1/4.两次出现相同面的概率为 .

（2）经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.

第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.

在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.

考虑第一个问题，如右图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ，

于是事件A发生的概率P（A）= .

第二个问题，如右图，记“射中黄心”为事件B，由于中靶心随机地落在面积为 ×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为 ×π×12.22 cm2的黄心内时，事件B发生，于是事件B发生的概率P（B）= =0.01.

（3）硬币落地后会出现四种结果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的；而剪断绳子的点和射中靶面的點是无限的；即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的.

（4）几何概型.

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称几何概型.

几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等.

（5）几何概型的概率公式：

P（A）= .

（6）古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.

（三）应用示例

思路1

例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型.

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）如下图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.

活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系，然后判断.

解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.

点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.

思路2

例1 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率.

活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.

解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[40，60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P（A）=（60-40）/60=1/3.

即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.

点评：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.

（六）课堂小结

几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.

（七）作业

课本习题3.3A组1、2、3.