反例在数学教学中的作用

唐浩月

摘 要：反例和证明推动了数学学科的发展， 在数学发展中具有同等重要的作用.利用反例可以发现原有理论的局限性， 推动数学向前发展.在数学教学中通过反例， 可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握， 发现并纠正错误， 培养学生的创新能力和良好的思维品质。

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子.这里，我们讨论建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上，并且具有一定作用的反例.本文主要从以下几个方面阐述反例在数学教学中的作用。

第一 通过反例教学可加深学生对基本概念和定理的理解.

概念是数学理论和方法的基础， 只有准确地理解和把握概念的内涵， 掌握概念的本质属性， 才有可能正确掌握数学知识.高等数学中具有若干新概念， 而要很好地理解这些新概念， 正面的例子可起到了解熟悉新概念的作用，而反例则可加深对新概念的理解.

在讲授Lagrange 中值定理时，学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实它只适用于实分析.这时可构造如下反例以加深学生对Lagrange 中值定理的理解.

例：设 不难验证 处处连续而且可微，但找不到一个区 在a与b之间存在某个 ，使：

故， 由于不存在正数 ，使得 ，因而矛盾，故式（1）不成立.究其原因是 的值域中含有虚数元，不属于Lagrange 中值定理中所指实函数范畴.

第二 通过反例教学可加深学生对基础知识的理解.

数学的教学内容除概念以外， 大量的是定理 性质以及他们的应用.每一个定理 性质都有它各自成立的条件.讲解定理性质时， 必须促使学生注意这些条件， 理解和掌握他们的实质，为推理论证及应用计算打下良好的基础， 在这个环节中， 正面的例題可使学生掌握定理性质， 而反例则可加深学生对其的本质理解， 以防止理解错误，运用不当.例如在微分中值定理的教学中， 为使学生准确理解和掌握微分中值定理， 必须强调结构成立的条件.又如因多元函数是一元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但由于自变量增多，也会产生本质上的差别，因此，在学习多元函数的理论时，既要注意它与一元函数的联系，也要弄清它们之间的本质差别，比如学生在学习多元函数的偏导数与连续性的关系时，容易受到思维定势的影响，不注意一元与多元的差异，错误地把一元函数中可导必连续这一结论搬到多元函数中来，但这个问题结论对多元函数是不成立的，为引起重视，可用如下反例加以说明.

如 ，由偏导数定义 而 在 点却不连续.

又如 在 点连续，但在 点两个偏导数都不存在.

第三 通过反例教学可可以发现和纠正学习中存在的错误.

教学过程是一个知识积累的过程， 同时也是不断发现错误改正错误的过程， 反例在辨析错误中具有直观 明显 说明力强等突出特点.通过反例教学， 不但可以发现学习中存在的错误和漏洞， 而且可以从反例中修补相关知识， 从而获得正确结论或解答.在区分无界函数和无穷大量这两个概念时， 不少学生认为无界就一定是无穷大量.而通过下面的反例即澄清了错误认知.

在学习概率论中，同学们都知道不可能事件的概率为零，但是概率为零的事件不一定是不可能事件.通过一反例说明.

第四 培养学生的良好思维品质.

数学教学的目的在于培养学生的思维能力， 通过数学知识的传播和思想方法的熏陶， 使学生形成良好的思维品质.这就要注重培养他们思维的灵活性、批判性、 严谨性及广阔性.而反例在培养学生思维品质的这几个方面都可起到正面例题所不能起到的作用， 特别是在培养思维的严谨性和批判性方面尤为重要.

第五 通过反例教学， 可培养学生的创新能力

巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论， 但实际上， 反例的构造并不轻松.构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径，反而需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来， 许多反例的构造并不惟一， 这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中， 除教师应用反例教学外， 指导学生构造反例， 使学生在构造反例的过程中学会创新， 养成勤于探索， 不断进取的良好习惯.在教学中， 通过对陈题改造或挖掘定理 性质的隐含条件以及针对学生学习中的错误， 编制涉及构造反例的题目，通过学生构造反例的训练， 达到培养他们的创新能力的目的.

数学是一门严密的学科，他有自己独特的思维方式和逻辑推理体系.在数学教学中通过注重应用反例，不但可使学生加深理解教材内容，明确命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，而且培养了学生应用反例的能力.数学教学实践证明，通过反例的列举，对于理解概念和对整个理论的建立有着重要的借鉴作用，可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，从而更深刻地理解知识，思维更加严谨.可以这样说，学好数学就必须养成举反例的习惯.而一般来说，举反例比给出证明更需要想像力和创造性.因此，教师在日常教学中一定要注重应用反例教学，引导学生养成举反例的习惯，同时也培养学生应用反例的能力.在这一系列的过程中，不断提高学生数学能力.