关于Mei对称性与Noether对称性的关系—以Birkhoff系统为例*

张毅

（苏州科技学院土木工程学院，苏州 215011）

关于Mei对称性与Noether对称性的关系—以Birkhoff系统为例*

张毅

（苏州科技学院土木工程学院，苏州 215011）

文章以Birkhoff系统为例研究Mei对称性与Noether对称性之间的关系.研究了基于无限小生成元向量作用下Birkhoff函数和Birkhoff函数组的变分问题，建立了该变分问题的Birkhoff方程与Noether对称性及其守恒量.研究表明：该变分问题得到的Birkhoff方程、Noether等式和Noether守恒量分别与经典Birkhoff系统Mei对称性的判据方程、结构方程和Mei守恒量完全一致.文末以著名的Emden方程等为例来说明结果的应用.

Birkhoff系统，Mei对称性，Noether对称性，守恒量，关系

引言

动力学系统的对称性与守恒量的研究是分析力学发展的一个重要方面.对称性方法是研究动力学系统守恒量的一个近代方法，主要有三种概念不同的方法：一是基于Hamilton作用量在无限小变换下的不变性的Noether对称性［1-9］；二是基于微分方程在无限小变换下的不变性的Lie对称性［10-18］；三是基于动力学方程中出现的动力学函数（如Lagrange函数，动能，势能，广义力，广义约束力等）在经历群的无限小变换后仍然满足原方程的一种不变性的Mei对称性［19-25］.梅凤翔教授在其著作［25］中系统地研究了约束力学系统的上述三种对称性与三种守恒量（Noether守恒量，Hojman守恒量以及Mei守恒量），及其相互之间的关系.与以往的研究不同，本文从变分问题及其不变性角度，以Birkhoff系统为例研究Mei对称性与Noether对称性及其守恒量之间的关系，主要结果为文中给出的4个定理.

1 基于无限小生成元向量作用的Birkhoff函数的变分问题

Birkhoff系统的运动微分方程为

引进时间t和变量aμ的无限小变换

或其展开式

对于Birkhoff系统（1），构建基于无限小生成元向量作用下的Birkhoff函数和Birkhoff函数组的变分问题：

求积分泛函

在给定边界条件下的极值问题.

积分泛函（7）也可称为作用量积分或作用量.泛函（7）在 aμ=aμ（t）上取得极值的必要条件是其变分为零，即δA=0，因此有

利用边界条件（8）以及交换关系

方程（9）可表为

由积分区间的任意性和δaμ（μ=1，2，…，2n）的相互独立性，得

方程（12）是变分问题（7）（8）的Birkhoff方程.

2 Noether对称性

在无限小变换（4）作用下，泛函（7）变为

注意到关系

式（14）可表为

Noether对称性是作用量积分在无限小变换下的一种不变性.如果对于每一个无限小变换（4），始终成立

其中ΔG=εG，G=G (t，a)为规范函数，则这种不变性称为变分问题（7）（8）的Noether准对称性.如G=0，则为Noether对称性.

由式（16）和（17），容易得到：

如果存在规范函数G=G (t，a)使得无限小生成元τ，ξμ满足

则相应不变性为变分问题（7）（8）的Noether准对称性.

方程（18）可称为变分问题（7）（8）的Noether等式.

由Noether准对称性可直接导出一类守恒量，有如下结果：

守恒量（19）可称为变分问题（7）（8）的Noether守恒量.

3 Noether对称性与Mei对称性的关系

Birkhoff系统的Mei对称性是指Birkhoff方程（1）中的Birkhoff函数B和Birkhoff函数组Rμ在经历无限小变换后仍然满足原方程的一种不变性［25］.

关于变分问题（7）（8）的Noether对称性与Birkhoff系统（1）的Mei对称性之间的关系，有如下结果：

定理2 变分问题（7）（8）的Birkhoff方程即为Birkhoff系统（1）的Mei对称性的判据方程.

定理3 变分问题（7）（8）的Noether等式（18）即为Birkhoff系统（1）的Mei对称性的结构方程.

定理4 变分问题（7）（8）的Noether守恒量（19）即为Birkhoff系统（1）的Mei对称性直接导致的Mei守恒量.

4 算例

例1.考虑天体物理学著名的Emden方程［26］，它可化为Birkhoff系统，其Birkhoff函数和Birkhoff函数 组 为［27］

其中t≠0.Birkhoff方程（1）给出

泛函（7）给出

如取无限小变换的生成元向量为

则有

于是有

对式（25）等号右边第二项和第四项进行分部积分，并考虑到边界条件

以及Birkhoff方程（21），有

因此，生成元向量（23）是与泛函（24）相应的变分问题的Noether对称性.利用方程（21），由式（28）可得

式（29）是泛函（24）相应的变分问题的Noether守恒量.同时，由文献［27］，生成元向量（23）也是Birkhoff系统（20）的Mei对称性，而式（29）是相应的Mei守恒量.

例2.已知四阶Birkhoff系统为

Birkhoff方程（1）给出

泛函（7）给出

取无限小变换的生成元向量

则有

于是有

以及

因此，生成元向量（33）是与泛函（34）相应的变分问题的Noether对称性.利用方程（31），由式（36）得到

I=-2a3=const.（37）

式（37）是泛函（34）相应的变分问题的 Noether守恒量.同时，生成元向量（33）也是Birkhoff系统（30）相应的Mei对称性，而式（37）是其Mei守恒量.

5 结论

研究对称性与守恒量及其相互之间的关系对于深入理解力学系统的动力学行为及其内在的物理本质具有重要意义.本文以Birkhoff系统为例从变分不变性角度研究Mei对称性与Noether对称性及其守恒量之间的关系，结果表明：变分问题（7）（8）导致的动力学方程，Noether等式以及Noether守恒量就是Birkhoff系统（1）的Mei对称性的判据方程，结构方程和Mei守恒量.

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（10972151，11272227）.

Corresponding author，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn

RELATION BETWEEN THEMEISYMMETRY AND THE NOETHER SYMMETRY —TAKING THE BIRKHOFF SYSTEM ASAN EXAMPLE*

Zhang Yi

（College of Civil Engineering，Suzhou University of Science and Technology，Jiangsu Suzhou 215011，China）

This paper focuses on studying the relation between the Mei symmetry and the Noether symmetry，takes the Birkhoff system as a example.The variational problem for Birkhoffian and Birkhoff′s functions under action of infinitesimal generator vectors is studied.The Birkhoff′s equations for the variational problem are established.The Noether symmetry for the variational problem is studied and corresponding conserved quantity is given.The studies show that the Birkhoff equations the Noether identity and the Noether conserved quantity of the variational problem are exactly the same with the criterion equation and structural equation and the conserved quantity for Mei symmetry of classical Birkhoff system.In the end of the paper，we take the well-known Emden equation as example to illustrate the application of the results.

Birkhoff system，Mei symmetry，Noether symmetry，conserved quantity，relation Received 26 November 2014，revised 21 December 2014

10.6052/1672-6553-2015-016

2014-11-26收到第1稿，2014-12-21收到修改稿.

*国家自然科学基金资助项目（10972151，11272227）

E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn