带零点噪声密度函数的小波估计

王晋茹，张庆庆

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

带零点噪声密度函数的小波估计

王晋茹，张庆庆

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

利用小波方法研究含零点噪声的密度去卷积问题，构造了密度函数的小波估计器，并给出其在Besov空间中的上界估计.结果表明:本文的估计器是自适应的，且推广了文献［4，6］的结论.

Besov空间；小波估计器；自适应；收敛率

本文主要考虑如下模型:假设随机变量为观测数据，且满足

式中:Xl与εl为相互独立的随机变量；g（t）为随机噪声｛εl｝l∈｛1，2，…，n｝所对应的已知密度函数.研究目标是估计随机变量X的密度函数fX（t）.

设p≥1，Lp（ RR）表示实直线 RR上的Lp可测空间，F［f］（ξ）表示函数f（t）∈L1（ RR）的Fourier变换.一般地，随机噪声的密度函数满足

式中:ξ∈ RR；c＞0；b＞0；α≥0；γ∈ RR为常数.若α= 0，γ＞0，则称噪声为适度病态噪声；若α＞0，则称噪声为严重病态噪声.在式（2）的条件下，许多作者利用小波方法构造未知密度函数的估计器，并研究其在Besov空间的最优收敛性［1-3］.

然而在某些实际问题中，例如均匀分布随机变量密度函数的特征函数有零点，故不满足式（2）.为此，2011年Delaigle等［4］将条件（2）推广为含零点情形，即

式中:常数c＞0；b＞0；T＞0；ν≥0；α≥0；γ∈ RR（如果α=0，则假设γ＞0）.在式（3）条件下，Delaigle等［4］利用核估计方法构造Sobolev空间中密度函数的估计器，并研究其MISE收敛性.2014年，Guo等［5］利用小波方法构造估计器，并研究其在适度病态噪声（即α=0）下Besov空间中的Lp风险估计.由于Besov空间包含分数阶Sobolev空间受 Delaigle等［4］和Guo等［5］工作的启发，本文将构造严重病态噪声（即α＞0）情形下的小波估计器，并研究其在Besov空间中Lp风险意义下的收敛性.特别地，当p=q=r=2时，有故本文结果可以看成文献［4］的推广.另外，当γ=0时，本文结论退回到文献［6］中不含零点的情形.

1　小波及Besov空间

2　小波估计器及其收敛性

3　结论

1）本文利用小波方法，针对一类带零点随机噪声的密度函数，构造小波估计器，并给出其Lp风险估计.

2）由于Besov空间包含了经典的Sobolev空间，即当r=q=p=2时，本文结论退回到有关Sobolev空间的结论，故本文推广了已有结果，且包含了已有不含零点的结论.

［1］LI R，LIU Y.Wavelet optimal estimations for a density with some additive noises［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2014，36（3）:416-433.

［2］LI R，LIU Y.Wavelet optimal estimations for density functions under severely ill-posed noises［J/OL］.Abstract and Applied Analysis，2013，2013:1-7［2016-03-06］.http://dx.doi.org/10.1155/2013/260573.

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［4］DELAIGLE A，MEISTER A.Nonparametric function estimation under Fourier-oscillating noise［J］.Statistica Sinica，2011，21（3）:1065-1092.

［5］GUO H，LIU Y.Wavelet estimations for densities and their derivatives with Fourier oscillating noises［J］.Journal of Inequalities and Applications，2014（236）:15.

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（责任编辑 吕小红）

Wavelet Estimation of the Density Functions Under Fourier-oscillating Situation

WANG Jin-ru，ZHANG Qing-qing
（College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

In this paper，a wavelet method was used to deal with the density deconvolution problems under Fourier-oscillating situation.Wavelet estimators of the density function were constructed and upper bound over Besov spacewas provided.Result shows that the estimator is adaptive and extends the theorems of paper［4，6］.

Besov space；wavelet estimator；adaptive；convergence rate

O 174.2

A

0254-0037（2016）10-1597-04

10.11936/bjutxb2016040010

2016-04-06

国家自然科学基金面上资助项目（11271038）；国家留学基金委资助项目（201308110227）

王晋茹（1969—），女，副教授，主要从事小波分析及其应用方面的研究.E-mail:wangjinru@bjut.edu.cn