新型忆阻器混沌电路及其在图像加密中的应用

闵富红王珠林王恩荣曹弋



新型忆阻器混沌电路及其在图像加密中的应用

闵富红*王珠林 王恩荣 曹弋

(南京师范大学电气与自动化工程学院 南京 210042)

忆阻器是一种拥有记忆功能的电阻，目前忆阻器的研究热点及难点在于新模型的建立以及相关方面的应用。该文提出一种基于双曲正弦函数的新型磁控忆阻器模型，通过分析电压和电流的相轨迹关系，发现其具有典型的忆阻器电压-电流特性曲线。利用新建的忆阻器模型构造新型忆阻混沌系统，通过数值仿真绘出新系统的相轨迹图、分岔图、Lyapunov 指数谱等，分析了不同参数时系统的混沌演化过程。另外，基于电路仿真软件Multisim研制了实验仿真电路, 该电路结构简单、易于实际制作，且仿真实验与理论分析结论十分吻合，证实了提出的忆阻混沌系统电路在物理上是可以实现的。最后，利用新系统混沌序列对图像进行加密，重点分析了加密直方图、相邻像素相关性以及抗攻击能力与密钥敏感性，结果表明新系统对图像密钥及明文都非常敏感，密钥空间较大，新提出的忆阻混沌系统应用于图像加密具有较高的安全性能。

忆阻器；混沌电路；动力学行为；图像加密

1 引言

忆阻器是一种具有记忆特性且不同于电容、电阻、电感的纯粹非线性电路元件，自从被实现以来，便引起了社会广泛而密切的关注。直到2008年，Hewlett-Packard(HP)实验室小组成功地研制出了具有典型忆阻特征的忆阻器[1]，从正面给出了文献[2]在1971年预测的第4种基本电路元件存在的证明，这种元器件就是忆阻器。此后，忆阻器凭借其独特的电气性能和记忆功能，在人工智能[3]、新型存储器和现场可编辑门阵列[4]、人工神经网络和新型类脑系统[5,6]、混沌电路设计[7,8]等方面扮演着越来越重要的角色，一次又一次的给人们带来了惊喜。

近年来，普通混沌系统的理论设计、硬件实现得到了较为全面的发展，除了Rössler系统、Chen系统、QI系统、超混沌LÜ 系统等经典的混沌系统外，还有一些改进的具有更优越非线性特性的系统。然而，拥有比普通系统更高性能的忆阻器系统模型却很少，因此扩增新型忆阻器模型很有必要。目前，忆阻器主要分为磁控忆阻器和荷控忆阻器两大类，其忆阻或忆导仅与电路的磁通或电荷有关[13]，但是忆阻器的模型种类却一直没有得到应有的关注；一般来说，忆阻器的模型主要分为两个研究方向：一种是采用三次光滑非线性模型。文献[14]于2010年提出了三次光滑非线性磁控忆阻器，并利用4个基本电路元件电阻、电容、电感和忆阻器成功实现了一种简单的变形蔡氏混沌电路；文献[15]利用这种光滑模型忆阻器和负电导取代蔡氏二极管，形成了新的忆阻振荡器，发现在光滑忆阻振荡器的动力学行为依赖于参数和初始条件的改变；作为第4种基本电路元件，同其它基本无源二端口器件一样，忆阻器同样也存在其特有的串并联以及对偶特性[16,17]；文献[18]以包含两个磁控忆阻器电路为研究对象，分析了忆阻混沌电路动力学建模时存在的降维问题，发现降维建模降低了系统建模复杂度, 因此更加有利于系统的动力学特性分析。另一种研究方向是采用分段线性模型[7,19]，文献[19]中提出了一种由一个磁控忆阻器组成的具有单分岔参数的新型无感非线性振荡电路。

由于忆阻器实际物理模型难以实现，所以现阶段的研究重点在对忆阻器的理论模型分析上，对忆阻器应用方面研究的报道目前依旧很少。为进一步拓宽忆阻器混沌电路的研究与应用，本文首先提出了一种基于双曲正弦函数的新型磁控忆阻器模型，分析流经其两端的电压和电流相轨迹关系，发现了其拥有典型的忆阻特性。利用新建忆阻器模型构建新型忆阻混沌系统，绘出了新系统的相轨迹图、分岔图、Lyapunov 指数谱等；另外，设计了新型忆阻混沌系统的实验电路，其结构简单，且仿真实验与理论分析吻合；最后，利用新忆阻系统混沌序列对图像进行加密，结果表明，新系统对图像密钥及明文都非常敏感，证明了本文提出的忆阻混沌系统应用于图像加密具有较高安全性能。

2 新型忆阻器模型

由传统的电路理论可知基本的二端电路元件电阻()、电容()、电感()建立了4个电路变量电压()、电流()、磁通量()和电量()间的对应关系，但是,间的关系却不为人知。直到1971年，文献[2]从电路变量关系的完整性角度考虑，给出了忆阻的定义，用增量忆阻()来描述,之间的关系：

具有式(1)所定义关系的电路元件被称为忆阻器。由已有的经典电路理论知识我们知道，关系如下：

这里设计的忆阻器为磁控忆阻器模型是一个简单的双曲正弦非线性特性曲线，即

图1 磁通与电荷和忆导的曲线关系

设忆阻器两端电压为，流过其两端的电流为，现在将其两端施加一个正弦电压sin()作为激励，于是有

由式(5)通过MATLAB 仿真软件可绘出如图2所示的电压与电流关系。图2(a)所示的为电压和电流的相位图，图2(b)所示的为电压和电流的时序波形图。由图2(a)可发现新建的模型所描述的电压和电流关系为一条具有一个斜“8”字形的类紧磁滞回线的形状[1]，所以新的磁控模型具有忆阻器典型的电压-电流关系特性，表明了本文提出的忆阻器模型较为接近实际器件。

图2 电压与电流关系

3 含有忆阻器的混沌系统分析

本文所涉及的新型磁控忆阻器模型的混沌系统是在对经典QI混沌系统[11]模型进行深入研究的基础上提出的，新系统的数学模型具体描述为

图3 新系统的混沌吸引子

当系统参数发生改变时，系统的Lyapunov指数以及运动状态也会随之发生相应的变化。为了可以直观的了解系统的非线性特性，下面将详细分析系统的动力学特性。

3.1动力学特性分析

(1)耗散性：由于

当=10,=1.5时，，所以式(6)系统是耗散的，并且会按照式(8)的指数方程收敛：

可见，体积元0在时刻时收缩为体积元。当时间时，包含系统轨道的每个体积元都会以指数率进行收缩，最终缩到零点，意味着本文提出的忆阻混沌电路可以形成混沌吸引子。

(2)系统参数的影响：当系统的某一个参数发生改变后，系统平衡点的稳定性也将随之发生相应的变化，当然，系统的运动状态也会随之变换。下面我们将借助常规的动力学分析工具，分岔图和Lyapunov指数谱(LE谱)对系统参数进行分析，简单、直观地研究系统在参数改变时，其运动状态的变化情况。

固定系统参数=10,=8,=15,=5.2,=5 ，改变参数。设定初始值为[0.001, 0.001, 0.001, 0]，当参数变化时，系统关于的分岔以及LE谱如图4所示，其中数值仿真步长取为0.005。图4(a)是状态变量随参数变化的分岔图，图4(b)是系统在参数连续变化时的LE谱。从图4中可以看出，当和以及时，系统处于周期运动，此时的最大Lyapunov指数小于零；当时，系统处于多倍周期运动状态；在,以及时系统的最大LE大于零，此时系统处于混沌运动。

图4系统随参数变化的分岔图与 LE 谱图

系统的部分周期相平面图如图5所示，在=7.5时，系统处于周期1运动；当=6.6时，系统处于周期2运动；当4.15时，系统处于多倍周期运动下。因此，系统的部分相轨迹图和分岔图以及LE谱图相互印证，说明了本文的分析是正确的。图5(a)、5(b)、5(c)为的相平面周期图。

图5系统周期运动相位图

4 电路设计与仿真实验

混沌电路的模块化设计主要根据系统的无量纲状态方程，用模块化理念进行混沌电路的设计。本文所涉及的混沌电路Multisim整体仿真电路如图6所示，其中虚线框内电路为磁控忆阻器电路。

图 6 整体仿真电路图

由图6可见整体电路由4个通道电路组成。由图6中的虚线框可知反向积分器U7的输出端为信号，经过反向器U8进行系数调整后连接了反向电压-电流转换器电路U9，转换关系为

图7电路仿真结果

5 在图像加密中的应用

忆阻混沌电路具有更强的非周期性以及长期的不可预测性，注定了它具有比一般混沌电路拥有更广阔的应用前景。由于对忆阻器认识的局限性，在以往的报道中提到的大多是将普通的混沌系统用于图像加密领域[20]，但是将忆阻混沌电路用到图像加密中的研究却极少，然而这方面的应用很有必要，因为忆阻混沌电路具有更强的类似噪声及对初值的极度敏感性，也拥有更强的抗破译功能。

5.1图像像素位置置乱方法分析

本文利用一种基于像素置换和像素位置置乱相结合的方法，可使得加密图像具有较强的抵御统计攻击能力，以及具有对密钥和明文及其敏感的特性。设,为待加密的图像的像素行、列数，为图像灰度深度。当系统的初始值为[0,0,0,0]时对系统进行迭代，结果会产生4组混沌序列[(),(),(),()]，任取其中的一组并从中随机选取一段长度为的子序列0，依次取出序列0的前3位小数组成整数数列1，再对灰度深度进行取模，并将最终结果转化成二进制，同时也把欲加密图像的像素值转化成二进制序列；对二进制序列1和进行异或运算获得新序列1，把1还原成十进制便完成了像素值的预加密处理。再次任取序列的一组，随机截取长度为的子序列0，将序列0扩大1000倍并进行取模运算得到序列1；新建一个自然数列，将序列的第个元素与1的第个元素交换，再将交换后的向后移动i位，依次链接形成置乱矩阵序列作为地址映射表，将1的元素地址重排，得到最终加密序列2。

5.2直方图与相邻像素相关性分析

(1)直方图分析：图像的直方图是图像的重要统计特征，本文以大小为256×256的图像做加密图像，如图8(a)所示。

图8原图及加密后图像

设置新型磁控忆阻混沌系统的初始值为[0.02,0.01,0.03,0.04]，对图像进行加密仿真，加密后的图像如图8(b)所示。图9给出了图像加密前后的直方图，从图8、图9可见加密后的图像已经失去了原图的特征，直方图也不在展现原图的像素统计特征，由图9(b)可知加密后的直方图像素值分布较均匀，因此新系统具有较强的抵御统计攻击的能力。

图9 像素直方图

(2)相邻像素相关性分析：相邻像素的相关性是评价图像加密效果的重要指标，所以下面将通过对比加密前后图像相邻像素的分布图研究忆阻混沌系统的加密效果。利用Matlab软件，仿真得到加密前后水平方向的相邻像素关系如图10所示。从图10中可以看出，原图相邻像素之间相关性较大，加密后的像素分布特别均匀和分散，加密效果非常明显。

图10 水平方向相邻像素相关性对比

表1给出了加密前后图像各方向的相关系数，从表中可以看出加密前图像在水平、垂直、对角3个方向上的像素相关系数都很接近1，加密后的各系数相关性很小，接近于0，可以说加密后的图像失去了原图的特征，加密效果明显。

表1原始图像与加密后图像的相关系数

5.3 抗攻击能力与密钥敏感性分析

本文将对加密图像进行剪切攻击，假设经过忆阻混沌系统加密后的图像在其中间区域被剪掉了90×90大小的面积，如图11(a)所示。观察解密效果，从图11(b)的解密图像看，虽然加密图被剪掉了一部分，但是经解密的还原图像仍可以清晰还原出原始图像，可见图像在遭受攻击时仍具有很好的解密效果。

图11 剪切与解密还原对比

密钥敏感性是密码学的基本特性之一，一个好的密码算法应当对密钥极其敏感。为了测算密钥的敏感性，将忆阻混沌系统的初值作为密钥，正确的密钥为0=0.02,0=0.01,0=0.03,0=0.04，假设错误的密钥为0=0.02+0.00001，保持其它3个值不变，图12分别给出了原始图像和错误密钥的解密图像，可以看出即使密钥仅有0.00001的差别，解密图像与原始图像也根本不同，无法获取正确的解密图像。通过以上对加密直方图、相邻像素相关性以及抗攻击能力与密钥敏感性的分析，可以发现具有忆阻器的混沌系统在图像加密上具有更加优越的性能。

图12 密钥敏感性测试

6 结论

本文提出了一种基于双曲正弦函数的新型磁控忆阻器模型，通过对其电压和电流相轨迹关系的研究，发现具有典型的忆阻特征。在新建忆阻器模型的基础上构建了新型忆阻混沌系统，并通过数值仿真，绘出了新忆阻混沌系统的分岔图、Lyapunov 指数谱和相轨迹图，给出了系统参数连续变化时的混沌演化过程。另外，利用Multisim软件对新系统进行仿真实验，证实了本文提出的忆阻混沌系统电路在物理上是可以实现的。最后，基于新系统的混沌序列对图像进行加密应用，重点分析了加密直方图、相邻像素相关性以及抗攻击能力与密钥敏感性，结果表明新系统密钥空间大，并且对图像密钥及明文都非常敏感，说明了本文提出的忆阻混沌系统应用于图像加密具有较高的安全性能，可广泛应用于保密通信等领域。

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New Memristor Chaotic Circuit and Its Application to Image Encryption

MIN Fuhong WANG Zhulin WANG Enrong CAO Yi

(,,210042,)

Memristor is a kind of resistance and in possession of the function of memory. The research hotspots and difficulties at present memristor lie in the application of the new model and related areas. A novel magnetron memristor model based on hyperbolic sine function is designed and found that its characteristic is consistent with the typical memristor from the trajectory of voltage and current phase. A new memristor chaotic systemshe using the new memristor model is also presented, and then the phase trajectories, the bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum of the new system are plotted through numerical simulations. In addition, based on Multisim circuit simulation software for the new system simulation, both experimental and simulation results validate the proposed equivalent circuit realization. Finally, the chaotic sequences generated by the new system are used for scrambling the pixel position to protect image information security. The correlation and statistic histogram entropy of adjacent pixels, anti-attack capability and key sensitivity of the encrypted image are analyzed, which indicate that the new memristive chaotic system has much better potential advantages than other existing chaotic system in image encryption application with high safety performance.

Memristor; Chaotic circuit; Dynamical behavior; Image encryption

TP271

A

1009-5896(2016)10-2681-08

10.11999/JEIT160178

2016-03-01；改回日期：2016-04-22；网络出版：2016-06-12

闵富红 minfuhong@njnu.edu.cn

国家自然科学基金(51475246)，江苏省自然科学基金(BK20131402)

The National Natural Science Foundation of China (51475246), The Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20131402)

闵富红： 女，1970 年生，副教授，硕士生导师，研究方向为非线性系统的混沌控制与同步.

王珠林： 男，1990年生，硕士生，研究方向为非线性系统的混沌控制与同步.

王恩荣： 男，1962 年生，教授，博士生导师，研究方向为智能车辆悬架控制、磁流变阻尼器减振应用、工业系统智能控制.

曹 弋： 女，1971 年生，副教授，研究方向为计算机应用,电气控制.