一类整数阶和分数阶经济系统的混沌同步

周长芹，史丽敏，毛北行

（郑州航空工业管理学院 理学院，郑州450015）

一类整数阶和分数阶经济系统的混沌同步

周长芹，史丽敏，毛北行

（郑州航空工业管理学院 理学院，郑州450015）

研究了一类整数阶和分数阶经济系统的混沌同步问题，基于稳定性理论和分数阶微积分方法得到了经济系统与其响应系统取得混沌同步的充分条件。给出的例子说明了方法的有效性。

混沌同步，分数阶系统；稳定性理论；分数阶微积分方法

近年来，分数阶系统已成为控制领域研究的热点［1–4］。潘光等［5］研究了一类不确定分数阶混沌系统的滑模自适应同步问题，并利用所设计的自适应滑模控制器实现了该系统与其响应系统的滑模混沌同步。仲启龙等［6］研究了一类分数阶模糊系统的混沌同步问题。余明哲等［7］研究了一类不确定分数阶混沌系统的滑模自适应同步问题，并通过设计的切换函数和控制律得出了该系统与其响应系统取得滑模混沌同步的充分条件。严胜利等［8］研究了一类不确定分数阶混沌系统的同步控制问题。徐争辉等［9］研究了对称分数阶经济系统的混沌同步问题，并利用时域分析法研究了它的特征。郝建红等［10］研究了分数阶线性系统的稳定性理论在混沌同步中的简单应用。在此基础上，我们研究了一类整数阶和分数阶经济系统的混沌同步问题，基于稳定性理论和分数阶微积分方法分别得出了这两个系统与其响应系统取得混沌同步的充分条件，并通过两个例子验证了方法的有效性。

1　主要结果

我们考虑整数阶经济系统

其中，a为储蓄量，b为单位投资成本，c为市场需求弹性，x1为存储利率，x2为投资需求，x3为价格指数。

系统（1）作为驱动系统，其响应系统可设计为

当a=0.9,b=0.2,c=1.2时，系统（1）出现混沌状态。

定义1［10］：Caputo分数阶导数定义为

现在考虑分数阶经济系统

系统（4）作为驱动系统，其响应系统可设计为

定义系统误差则由系统（5）与系统（4）相减得到的误差系统为

4月20日凌晨，水利部抗震救灾前方领导小组召开第三次工作会议，水利部抗震救灾前方领导小组组长、国家防办副主任李坤刚传达了19日下午国家防总、水利部抗震救灾会议精神，并确定了下一步的工作重点。

引理1［11］：对于一般的分数阶自治非线性微分方程，当0<α≤1时，若存在实对称正定矩阵P，使得，则由上述方程组成的分数阶系统是渐近稳定的。

由系统（5）与系统（4）相减得到的误差系统为

2　混沌同步举例

例子1：设整数阶系统为

其响应系统设计为

从图1可以看出，误差系统的3个误差变量相距原点较远，但随着时间的推移，3个变量的误差逐渐趋于原点，这表明整数阶系统（7）与其响应系统（8）是混沌同步的。

图1　整数阶系统的误差曲线

例子2：设分数阶系统为

其响应系统设计为

当a=3,b=0.1,c=1,α=0.86时，若控制器设计为系统的初始值为则误差系统（13）是渐近稳定的，这表明分数阶系统（11）与其响应系统（12）是混沌同步的，误差曲线如图2所示。

图2　分数阶系统的误差曲线

3　结束语

在本文中，我们基于线性系统理论和分数阶微积分方法研究了经济系统的混沌同步问题，给出了经济系统与其响应系统取得混沌同步的充分条件，并通过Matlab数值仿真验证了方法的有效性。

［1］毛北行，王东晓.一类分数阶复杂网络系统的有限时间同步控制［J］.深圳大学学报（理工版），2016（1）：96-101.

［2］毛北行，李巧利.一类分数阶Duffling-van der pol系统的混沌同步［J］.吉林大学学报（理学版），2016（2）：369-373.

［3］毛北行，董建伟.一类混沌系统的函数矩阵投影同步［J］.经济数学，2015（1）：42-45.

［4］张友安，余名哲，耿宝亮.基于投影法的不确定分数阶混沌系统自适应同步［J］.电子与信息学报，2015（2）：455-460.

［5］潘光，魏静.一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制器设计［J］.物理学报，2015（4）：5051-5057.

［6］仲启龙，邵永辉，郑永爱.基于TS模型的分数阶系统混沌同步［J］.扬州大学学报（自然科学版），2012（2）：46-49.

［7］余明哲，张友安.一类不确定分数阶混沌系统的滑模自适应同步［J］.北京航空航天大学学报，2014（9）：1276-1280.

［8］严胜利，张昭晗.一类不确定分数阶混沌系统的同步控制［J］.系统仿真技术，2013（4）：366-370.

［9］徐争辉，刘友金，谭文，等.一个对称分数阶经济系统混沌特性分析［J］.系统工程理论与实践，2014（5）：1237-1242.

［10］郝建红，宾虹，姜苏娜，等.分数阶线性系统稳定理论在混沌同步中的简单应用［J］.河北师范大学学报（自然科学版），2014（5）：469-475.

［11］胡建兵，赵灵冬.分数阶系统稳定性理论与控制研究［J］.物理学报，2013（24）：5041-5047.

【责任编辑王云鹏】

Chaos Synchronization of a Class of Integral-order and Fractional-order Financial Systems

ZHOU Changqin，SHI Limin，MAO Beixing
（Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China）

The chaos synchronization problem of a class of integral-order and fractional order financial systems were studied in this paper.Based on stability theory and fractional calculus methods，the sufficient conditions that master system and its response system achieved chaos synchronization were obtained.The examples in this paper showed the methods were effective.

chaos synchronization；fractional-order systems；stability theory；fractional calculus

O231.1

A

2095-7726（2016）09-0014-03

2016-06-14

国家自然科学基金青年基金项目（NSFC11501525）；河南省科技厅软科学研究计划项目（142400411192）

周长芹（1981-），女，山东临沂人，讲师，硕士，研究方向：混沌同步与小波分析。