圆，妙不可言

邹红丰

近年来，中考对有关《圆》这部分内容作了调整，将圆从高高在上的位置上降了下来，圆的证明题减少、难度降低；但圆又随时“潜伏”在中考的考题中，它可以“圆滑”地安装在几何图形中，它也可以与三角函数相“混搭”。下面以部分中考题为例，来体会“圆”的妙不可言之处。

一、围绕“定义”做文章

圆有两个定义：①平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆；②到定点的距离等于定长的点的集合。根据这两个定义我们可以在几何图形中找到圆的影子。

例1.如图1，⊙P在第一象限，半径为3。动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为—。

【评析】如图2，连接CO，利用等边三角形的性质，CO=AO，点C随点A运动成圆。点A在以P为圆心，3为半径的圆上，根据定义②，那么动点C的集合也应该是一个圆。当OA经过圆心P与⊙P交于A1A2两点，且OA1≤OA≤OA2，则OA1≤OC≤OA2，所以由点C组成的圆的直经C1C2=A1A2=6，S=27。

在教材中，虽然对圆的概念教学是“认知”“理解”，但是按照学生思维发展的自然规律，学生已经对圆的“定义”具备了分析、运用的能力。在有些几何问题中圆的条件并不明显，特别是一些动态的问题，我们可以通过画图分析寻找规律（动点的轨迹），将“潜伏”在图中的圆的几何特征代数化—如果存在某个定点（圆心），动点到这个定点的距离等于定长（半径）或者与已知线段有一定数量关系，这样我们就可以构造一个圆来解决，体现数形结合思想的巧用，同时通过这一转化培养学生的分析问题、解决问题的能力。

二、小心“角”里藏玄机

有些题目中，会提到一个角，它是一个定值，它的顶点是动点，另两个点是定点，要找这个动点的位置。圆里面的圆周角和圆心角都有上面的特点，当弧长一定时，它所对的圆周角和圆心角是相等的，这时，我们只要构造一个圆，把这个动点“引导”到圆上的特殊位置，问题就能迎刃而解。

例2.如图3，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为—。

【评析】如下图4所示，题中有两个动点P，H，我们首先要找到动点H运动的轨迹，因为OH⊥EP，∠OHE=90°所以点H在以OE为直径的圆上（直径所对的圆周角等于90°）。点P运动的路径决定了点H在圆上的起始位置，即求H运动的路径长就是求某段弧长。OE=，以OE为直径构造半圆，圆心是点D。点P从F（0， ）运动到原点O（0，0），则EP与半圆的交点从点G到原点O，则点P运动的路径是弧OG，所以OG⊥EF，OE= ，半径DO=DG= ，利用面积求OG=。因为OD2+DG2==25=OG2。

所以△ODG为直角三角形，∠ODG=90°，lOG=

本题中∠OHE=90°，所以OE是构造的圆的直径，找圆心和半径比较容易。在解决这一类问题时，我们巧妙地“挖掘”出圆中圆周角、圆心角，灵活地利用了垂径定理，让学生看到圆的价值，体现圆的魅力，激发学生学习圆的兴趣。

三、“三角函数”来混搭

例3.如图5，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）。

（1）求该反比例函数的关系式。

（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′。①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= 。

【评析】本题综合性比较强，难度系数比较大，特别是最后一小题，题目的条件是很难发现圆的。关键地方是∠BMC的正弦值中1和m都是已知的，由BC=2，sin∠BMC= ，我们可以构造一个直角三角形，它的直角边=BC=2，斜边长=2m，则该直角边所对的角就等于∠BMC，这时候我们就可以联想到在以BC为弦，半径为m的⊙E上找点M。在解决问题的过程中，我们依次挖掘出圆周角、三角函数、圆与直线的位置关系这些条件，将这些条件得到的结论相结合，使得棘手的问题迎刃而解。在整个解题过程中，圆的知识所起的作用虽不是惊心动魄，但确实不可或缺，似有一种润物细无声的感觉，三角函数在此题中的运用也绝妙无比，这正说明了数学是一个有机的整体，它不可能孤立地研究某一个重点知识，只能是在全面认知的基础上有所突破。

四、几点反思

中考对于圆的考查，从容易到难都会有，关键是在解决问题的过程中，要善于挖掘圆的条件，将圆的知识作为转化和过渡，这就要求教师在教学中注重培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，具体而言要做到以下三点：

1.知识过关：对于圆的定义、基本元素及其性质，垂径定理，圆与直线的位置关系等要熟练掌握并会运用。

2.善于分析：有的问题单纯考查圆的知识，难度不大；但有些问题中没有明显提到圆，所以要善于分析，挖掘出圆的哪些知识点，并加以转化构造出圆来解决问题。

3.善于观察联想：通过观察图形发现基本定理、性质和定义等所对应的图形，建立条件之间的联系，逐步将问题转化。特别是解综合题，它是一个环环相扣的系统工程，需要在学习过程中逐步培养这种能力。

因此，在中考复习中，对于“圆”的专题练习，教师要教会学生通过多种方法将并列的知识点串联起来解决问题，使它们始终围绕着“圆”这一个主题进行，渗透数形结合的数学思想，体验到“圆”的妙不可言。同时，教师在教学过程中，要注重对学生的观察、操作、分类、归纳等活动进行积极地评价，关注他们思维的多样化和表达的条理性、严谨性，教会他们用数学的眼光去认识世界。