基于四元数离散余弦变换和相移数字全息干涉的彩色图像加密技术

李建忠，江玉珍，钟　平

（1.韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州　521041；2.韩山师范学院计算机与信息工程学院，广东潮州　521041；3.韩山师范学院教育信息技术部，广东潮州　521041）

基于四元数离散余弦变换和相移数字全息干涉的彩色图像加密技术

李建忠1，江玉珍2，钟平3

（1.韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041；2.韩山师范学院计算机与信息工程学院，广东潮州521041；3.韩山师范学院教育信息技术部，广东潮州521041）

结合四元数离散余弦变换（QDCT）、Henon映射和两步相移数字全息干涉术，提出一种彩色图像加密新方法.所提加密技术首先应用QDCT对彩色图像进行整体式的处理，然后使用Fibonacci变换和基于分数傅里叶变换的双随机编码技术进行加密，并采用两步相移数字全息干涉术记录加密结果.为避免传输随机相位掩模（RPM）给解密方引起的安全风险，利用Henon映射生成双随机编码过程所需的RPMs加以解决.实验表明所提加密系统具有高安全性和对选择明文等攻击具有鲁棒性.

加密；四元数离散余弦变换；分数傅里叶变换；Henon映射；两步相移干涉

基于光学理论的图像加密技术是信息安全领域的一个重要的分支.自双随机相位编码（DPRE）加密技术［1］提出以来，许多学者在此基础上采用菲涅尔变换［2］、分数傅立叶变换［3］、Gyrator变换［4］和相移数字全息干涉［5］等提出一系列的新技术.然而，上述方法的保护对象均为灰度图像，无法对彩色图像进行有效加密处理.但随着多媒体技术和图像获取设备技术的发展，彩色数字图像产品越来越多，这使得彩色图像安全保护技术的应用研究变得更为迫切.为加密彩色图像，文献［6］基于RGB颜色模型将彩色图像分解为R、G、B三个颜色分量，然后在三个通道中实现加密和传输；文献［7，8］则分别提出采用基于波长复用的双随机相位加密方法和基于分数傅里叶变换的双随机相位加密方法对彩色图像的三个R、G、B通道进行加密.但这些方法均是对彩色图像的不同分量分别地进行操作，所以无法将其作为一个整体进行处理，增加了系统的复杂性和实现的难度.为实现将彩色图像作为一个整体进行加密，文献［9］提出基于四元数傅里叶变换和双随机相位编码的彩色图像加密技术.在这种方法中，彩色图像将采用四元数矩阵表示以实现整体式处理.然而，该方法的加密结果为复数形式，不便于存储和传输.同时，上述方法均无法有效抵抗选择明文［10］等攻击.此外，大部分基于双随机相位编码的图像加密技术都需要传送大量的解密密钥如随机相位掩膜（RPM）等给解密方，容易引起安全风险［11］.

结合四元数离散余弦变换（QDCT）、基于分数傅里叶变换（FrT）的双随机相位编码技术和两步相移数字全息干涉术，本文提出一种安全的彩色图像加密方法.为避免将整个RPM传送给解密者，采用了Henon混沌系统生成RPM的方法.模拟实验表明，所提方法不但具有良好的安全性和鲁棒性，而且能有效降低系统的复杂性和提高存储及传输效率.

1　相关工作原理

1.1彩色图像的四元数表示及QDCT

1.1.1彩色图像的四元数表示

四元数可视为复数的推广，其定义如下［12］：

式中，a,b,c,d为实数，i，j，k为满足下面规则的虚数单位：

当a=0时，q为纯四元数.

彩色图像通常可用如RGB、HSI等色彩模型表示，本文以RGB色彩模型为例进行讨论.令四元数的实部为0，而三个虚部分别代表彩色图像 f（x,y）的R、G、B分量，则彩色图像 f（x,y）可表示为

式中，f（Qx,y）是由四元数表示的彩色图像，f（Rx，y）、f（Gx，y）和 f（Bx，y）分别为彩色图像的R、G、B三个颜色分量.可见，四元数可以把在三色空间上的彩色图像作为一个矢量进行整体式的处理.

1.1.2彩色图像的QDCT

大小为M×N彩色图像的QDCT定义如下［13］

对应的逆离散四元数余弦变换（IQDCT）定义如下［13］

其中

（4）式和（5）式中， μQ是一个实部为0、模为1且满足μQ2=-1的单位纯四元数.设μQ=ξi+ηj+γk（ξ，η和γ均为实数），将μQ和（3）式代入（4）式整理有

其中，

（9）式中，DCT（）表示离散余弦变换.对（8）式进行IQDCT变换，有

其中，

（11）式中， f0（x,y）=IDCT［C0（p,s）］,f1（x,y）=IDCT［C1（p,s）］,f2（x,y）=IDCT［C2（p,s）］和 f3（x,y）=IDCT［C3（p,s）］，IDCT（）表示逆离散余弦变换.对比（10）式和（3）式有 fre（x,y）=0.根据RGB模型组合（10）式中的 fR（x,y）、fG（x,y）和fB（x,y）可得重构彩色图像.

1.2Henon混沌映射

由于具有良好的伪随机性、轨道不可预测性及对初始状态和控制参数极端敏感等特性，近年来混沌系统被广泛应用加密技术.本文将采用Henon混沌系统生成RPM.Henon映射定义如下［14］

当g=1.4，h=0.3时，系统产生混沌现象.

1.3两步相移数字全息干涉术

因为两步相移数字全息干涉术能很好地去除零级像和共轭像以及降低系统的运算和存储量，所用研究将在所提加密算法中应用其记录加密的全息图.其工作原理如下［15］：

假设在全息图记录平面上的物光波复振幅为I，参考光波是振幅为R的平面波，同时参考光分别引入0和π/2相位，则被记录的两个正交相移同轴全息图的光强分布为

其中，H0表示零级光波或直流项.

当参考光强度满足下列条件

H0可由下式计算得到

然后，根据（16）式可得没有零级光波和共轭光波的全息图

2　彩色图像加密解密方法

对大小为M×N的待加密彩色图像，可根据（3）式先将其表示为四元数矩阵的形式，并记为f（Qx，y）.加密步骤如下

1）对 f（Qx，y）进行QDCT得C（Qp,s）=C（0p,s）+C（1p,s）i+C（2p,s）j+C（0p,s）k；

2）构造矩阵QC1=［C0,C1］和QC2=［C2,C3］，然后令EC=QC1+jQC2，则EC为待加密的复振幅. QC1、QC2和EC的大小均为M×2N；

3）为抵抗选择明文等攻击，对EC进行置乱次数为kp的Fibonacci变换［16］得PCM；

4）为避免将整个RPM作为密钥进行存储和传输，采用Henon映射生成2个大小为M×2N的RPM，过程如下

①首先随机初始化X1和Y1；

②然后根据（12）式生成2个混沌序列Xi和Yi；

③计算Xi=10n|Xi|-fix（10n|Xi|），Yi=10n|Yi|-fix（10n|Yi|）.其中 fix（）为向下取整函数；

④接着分别将Xi和Yi转换为大小为M×2N的二维矩阵φ及ϕ，则φ及ϕ可被认为是两个在［0，1］之间随机分布的白噪声；

⑤最后下列公式获得随机相位掩膜PM1和PM2

5）假设DPRE系统的输入平面、变换平面和记录平面分别用（x0,y0）、（x1,y1）和（x2,y2）表示，则在记录平面得到的复振幅为

其中，FrT（）是分数傅里叶变换操作，Px1、Px2和Py1、Py2分别为水平和竖直方向的分数阶；

6）根据1.3小节描述的方法，对参考光引入相位，分别为0和π/2，则可得到两幅加密的全息图H1和H2.

上述方法中，参数X1、Y1、Px1、Py1、Px2、Py2和kp为所提加密系统的密钥.

解密过程为加密方法的逆过程，步骤如下

1）首先根据式（15）计算得到I0，然后应用式（16）得H；

2）利用密钥X1、Y1作为初始参数，按照加密过程的步骤4）生成两个随机相位掩膜PM1和PM2；

3）根据式（19）用分数阶P1和P2对H作两次逆分数傅里叶变换得原输入平面上的物光波复振幅

4）对上述复振幅PCM进行置乱次数为kp的逆Fibonacci变换得EC' =QC1' +jQC2' ；

5）根据下式构造C'0、C'1、C'2和C'3

6）最后按照（11）和（10）式得重构彩色图像 fQ'（x，y）.

3　仿真实验

为验证所提加密方法的可行性，采用Matlab 2013进行计算机仿真实验.实验中，选取256×128 的24位真彩色图像Giraffe作为待加密的原始图像，如图1（a）所示.系统参数分别为X1=0.287，Y1=0.163，Px1=0.43、Py1=0.78、Px2=0.56、Py2=0.92及kp=196.图1（b）、图1（c）分别为两个加密的全息图，图1（d）是用所有正确密钥得到的解密图像.为评价解密图像的质量，用解密图像与原图像的均方误差（MSE）［17］度量它们之间的差异.对比图1（d）和图1（a）可知，解密图像与原始加密图像在视觉上没有任何差别，其MSE为4.85×10-29.

图1　加密及解密结果

实验首先验证加密方法对混沌初始参数微小变化的敏感性.图2（a）和2（b）分别是X1=0.287+10-15和Y1=0.163+ 10-15时的解密图像，相应的MSE分别为0.2036和0.1982.从图2可以看出，只要任一混沌初始参数有极轻微的改变，都不能正确解密.可见，该方法对Henon混沌系统的初始参数极为敏感.

图3（a）是解密彩色图像的MSE与分数阶Px1、Py1、Px2和Py2误差之间的关系曲线，正方形曲线对应Px1，圆点曲线对应Py1，正三角曲线对应Px2，倒三角曲线对应Py2.由关系曲线可以看出，当分数阶Px1、Py1、Px2和Py2的绝对误差达0.01时，将无法从解密图像中获取有效信息，它们的MSE值均在0.12以上.图3（b）、（c）、（d）和（e）是Px1、Py1、Px2和Py2的误差为0.01时解密结果，它们的MSE分别为0.1954、0.125、0.211和0.1976.

图2　混沌参数错误时的解密结果

图3　混沌参数错误时的解密结果

图4是kp=196+1时的解密图像，其MSE=0.1801.从图4可知，当置乱参数kp发生微小变化，将不能正确恢复出原始彩色图像.

在上述安全性测试实验中，只有一个密钥是错误的，其它密钥均全部正确.

大部分基于DPRE的图像加密方法不能有效抵抗如唯密文、已知明文、选择密文和选择明文等特殊攻击［10］.在上述攻击中，选择明文攻击最为有效［10］.文献［18］指出能置乱技术能使基于DPRE的加密方法有效抵抗上述攻击.同时，研究表明，当一个加密系统能抵抗选择明文攻击，则该系统也能抵抗其余3种攻击［10］.为验证抵抗上述攻击的鲁棒性，实验根据文献［19］的方法，用图5（a）作为伪明文对所提方法进行选择明文攻击并求解得随机相位掩膜PM1'和PM2' ，然后用它们对图1（b）和1（c）所示的密文进行解密，噪声图像图5（b）是相应解密结果，它的MSE是0.197 9.因此，所提加密系统能有效抵抗选择明文攻击.根据文献［10］可知，本方法同样能有效抵抗另外3种攻击.

4　结束语

基于四元数离散余弦变换、双随机相位编码、Henon混沌映射和两步相移数字全息干涉，本文提出一种彩色图像的加密技术.在该方法中，由于彩色图像用QDCT进行整体式的处理，同时加密结果仅需记录两幅实值全息图，所以有效地降低了系统的复杂性.此外，采用Henon映射生成RPM可避免传输随机相位掩模给解密方，使得本加密技术在密钥的管理与发布方面具有很大优势.实验表明，加密结果只有在所有密钥都正确的情况下才能正确解密，一旦有任一密钥错误，解密图像将不能正确恢复，因此所提方法具有很高的安全性.另外，由鲁棒性实验结果可知，该加密系统能有效地抵抗选择明文等攻击.

图4　置乱参数错误时的解密结果

图5　选择明文攻击鲁棒性实验结果

［1］REFREGIER P，JAVIDI B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding［J］.Opt.Lett.，1995，20：767-769.

［2］YUAN S，XIN Y H，LIU M T,et al.An improved method to enhance the security of double random-phase encoding in the Fresnel domain［J］.Optics&Laser Technology，2013，44：51-56.

［3］NISCHAL N K，JOSEPH J，SINGH K.Securing information using fractional Fourier transform in digital holography［J］.Opt. Commun.，2004，235；253-259.

［4］WANG Q，GUO Q，LEI L.Double image encryption based on phase-amplitude mixed encoding and multistage phase encoding in gyrator transform domains［J］.Optics&Laser Technology，2013，48：267-279.

［5］CAI L Z，HE M Z，LIU Q，et al.Digital image encryption and watermarking by phase-shifting interferometry［J］.Appl.Opt.，2004，43：3078-3084.

［6］GE F，CHEN L F，ZHAO D M.A half-blind color image hiding and encryption method in fractional Fourier domains［J］. Opt.Commun.，2008，281：4254-4260.

［7］CHEN L F，ZHAO D M.Optical color image encryption by wavelength multiplexing and lensless Fresnel transform［J］.Opt. Exp.，2006，14：8552-8560.

［8］JOSHI M，CHANDRASHAKHER，SINGH K.Color image encryption and decryption using fractional Fourier transform［J］. Opt.Commun.，2007，279：35-42.

［9］盖琦，王明伟，李智磊，等.基于离散四元数傅里叶变换的双随机相位加密技术［J］.物理学报，2008,57（11）：6955-6961.

［10］ZHANG Y，XIAO D.Double optical image encryption using discrete Chirikov standard map and chaos-based fractional ran-dom transform［J］.Opt.Lasers Eng.，2013，51：472-480.

［11］SINGH N，SINHA A.Optical image encryption using Hartley transform and logistic map［J］.Opt.Commun.，2009，282：1104-1109.

［12］SHAO Z H，SHU H Z，WU J S，et al.Double color image encryption using iterative phase retrieval algorithm in quaternion gyrator domain［J］.Opt.Express，2014，22：4932-4943.

［13］FENG W，HU B.Quaternion discrete cosine transform and its application in color template matching［C］//.IEEE Congress on Image and Signal Processing，Sanya.2008，2：252-256.

［14］郑凡，田小建，范文华，等.基于Henon映射的数字图像加密［J］.北京邮电大学学报，2008,31（1）：66-70.

［15］曾大奎，马利红，刘健，等.基于两步正交相移干涉的振幅图像光学加密技术［J］.光子学报，2012,41（1）：72-76.

［16］SATHIK M M，SUJATHA S S.A novel DWT based invisible watermarking technique for digital images［J］.IAJET.，2013，2：167-172.

［17］SUI L S，GAO B.Single-channel color image encryption based on iterative fractional Fourier transform and chaos［J］.Optics &Laser Technology，2013，48：117-127.

［18］HE M Z，TAN Q F，CAO L C，et al.Security enhanced optical encryption system by random phase key and permutation key ［J］.Opt.Express，2009，17：22462-22473.

［19］PENG X，WEI H Z，ZHANG P.Chosen-plaintext attack on lensless double-random phase encoding in the Fresnel domain ［J］.Opt.Lett.，2006，31：3261-3263.

Color Image Encryption Scheme Based on Quaternion Discrete Cosine Transform and Phase-shifting Interferometry

LI Jian-zhong1，JIANG Yu-zhen2，ZHONG Ping3
（1.School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041，2.School of Computer and Information Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041，3.Department of Information Technology Education，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

A color image encryption scheme based on the quaternion discrete cosine transform（QDCT），the Henon map and two-step phase-shifting interferometry（PSI）is presented.In the proposed method，the original color image is processed holistically in a vector manner using QDCT first，then the components of the QDCT-transformed original image are encoded by use of the Fibonacci transform and the fractional Fourier transform-based double random phase encoding（DRPE）technique.The resulting encrypted signal is recorded as two real-valued interferograms by employing two-step PSI.To avoid the security risks caused by sending the whole random phase masks（RPM）to the receiver side for decryption，the two RPMs used in DRPE is generated by utilizing Henon map.Experiments show that the proposed scheme has high security level and certain robustness against some attacks such as chosen plaintext attack.

encryption；Quaternion discrete cosine transform；fractional Fourier transform；Henon Map；two-step phase-shifting interferometry

TP 319

A

1007-6883（2016）03-0034-07

责任编辑朱本华

2016-03-28

广东省自然科学基金项目（项目编号：2014A030310038）；广东省教育厅科研项目（项目编号：2013KJCX0127；2015KTSCX089）；广东省2013年高等教育教学改革项目.

李建忠（1975-），男，广东广州人，韩山师范学院数学与统计学院副教授.