偶阶中立型多时滞泛函微分不等式最终正解的不存在性

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州　521041）

偶阶中立型多时滞泛函微分不等式最终正解的不存在性

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

利用广义黎卡提变换和积分平均技巧，研究了一类非线性的偶数阶中立型多时滞泛函微分不等式，得到了该类不等式几个新的最终正解不存在准则，所得结果推广了最近文献的相关结果，具有重要意义.

中立型；多时滞；泛函微分不等式；最终正解

1　引言

振动是系统的主要动力学性质之一，在日常生产、生活中，振动现象屡见不鲜，如机械振动、声带振动、电磁振荡等.由于振动的复杂性，人们往往通过简化假设，建立相应的数学模型，把复杂的振动问题用相对简单的数学方法加以描述，这便是动力方程的振动理论.动力方程的振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，在控制工程、机械振动、生物制药、力学等领域具有重要的应用价值.

1836年，Sturm在研究热传导问题时首次研究了二阶动力方程的振动性.此后，一个多世纪内，微分方程的振动理论发展比较缓慢，直到20世纪七八十年代，微分方程的振动理论逐渐成为了国内外学者研究的热点；随着研究的深入，研究的对象由线性微分方程拓展到次线性方程、半线性方程、超线性方程等情形，方程的阶数由二阶拓展到三阶，再拓展到偶数阶，由连续动力拓展到离散动力方程、时间尺度上的动力方程，而且研究的方程也由一般情形拓展到时滞方程、中立型方程、阻尼方程等情形.

近年来，中立型泛函微分不等式和微分方程出现了许多研究成果，参见文献［1-26］.本文将考虑如下一般形式的非线性偶数阶中立型多时滞不等式

其中n是偶数，τ＞0为常数.给出不等式（1）和（2）几个新的最终正解不存在准则.

关于不等式（1），本文始终假设下列条件成立：

i∈Im=｛1,2,...,m｝；

为得到本文的结果，首先给出如下引理.

引理1［27］设不恒为零，则和整数为奇数，使对t≥tu有u（k）（t）＞0，0≤k≤l且（-1）k+1u（k）（t）＞0,l≤k≤n.

引理2［28］设引理1的条件成立，且u（n-1）（t）⋅u（n）（t）≤0,t≥t0，则∃θ∈（0, 1）和M＞0，使得对充分大的t有

2　主要结果

定理1 假设条件（Η1）～（Η4）成立，对任意整数m＞2，若θ∈（0, 1）和M＞0，使得

则不等式（1）无最终正解.

证明假设相反，x（t）是（1）的最终正解则∃t1≥t0，使得x（t）＞0,x（t-τ）＞0,x［gi（t）］＞0,t≥t1，再由（Η2）得令

则有y（t）≥x（t）＞0,［r（t）y（n-1）（t）］′≤0,t≥t1.

于是由（Η1）可得，y（n）（t）≤0,y（n-1）（t）＞0,t≥t2.又由引理1，∃t2≥t1，使得y′（t）＞0,t≥t2.令

则z（t）≥0.由于x（t）≤y（t），因此x［gi（t）］≤y［gi（t）］（i∈Im）.注意到y′（t）＞0及条件（Η3）（Η4），有

这样

于是对于常数θ∈（0, 1），有

注意到y（n-1）［σ（t）］＞0,y（n）［σ（t）］≤0,t≥t2，于是有引理2，有

这样，由（5）、（6）及（7）得

由此可得，对于任意的t≥t2，有

进一步，有

于是，有

对上式令t→∞，并取上极限得

此与公式（3）矛盾.定理1证毕.

推论1若定理1中的（3）式被替代为

则不等式（1）无最终正解.

定理2 假设条件（Η1）～（Η4）成立，如果存在常数m≥2和函数，使得

则不等式（1）无最终正解.

证明假设相反，x（t）是（1）的最终正解，则由定理1的证明知，∃t2≥t1≥t0，θ∈（0, 1）和M＞0

使得（8）式成立，这样

进一步，有

令t→∞，并取上极限得

由公式（11），有

此与公式（12）矛盾.定理2证毕.

定理3 假设条件（Η1）～（Η4）成立，如果存在常数m≥2和函数，使得

则不等式（1）无最终正解.

证明假设相反，x（t）是（1）的最终正解，则由定理2的证明知∃t2≥t1≥t0，存在常数θ∈（0, 1）和M＞0，使得当t＞u≥t2时有（13）成立.进一步，有

令t→∞，并取上极限，并注意到（16）可得φ（u）≤ρ（u）z（u）,u≥t2.因此

定义函数

则由（13）可知

注意到（16）式，有

由（15）和（21）得

在（19）中令t→∞，取上极限，并使用（20）式可得

因此对充分大的n，有

其中k1＞k为常数，从w（t）的定义有

因此，对任意的0＜∈＜1，当n充分大时

另一方面，由Schwarz不等式得

因此

令t→∞，并注意到（22）式，得

进一步有

此与公式（17）矛盾.定理3证毕.

类似于不等式（1），也得到不等式（2）的一些结果.

定理4假设定理1条件成立，则不等式（2）无最终负解.

定理5假设定理2条件成立，则不等式（2）无最终负解.

定理6假设定理3条件成立，则不等式（2）无最终负解.

注：当r（t）≡1时，不等式（1）就是文献［4］所研究的不等式，因而本文的结论推广和包含了文献［4］的结果.

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［

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The Nonexistence for Eventually Positive Solutions of Even Order Neutral Functional Differential Inequality with Multiple Delays

LIN Wen-xian
（School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

Using a generalized Riccati transformation and integral averaging technique，we develop several new results related to the nonexistence criteria for eventually positive solutions of certain even order neutral functional differential inequalities with multiple delays.The results extend and improve the ones in recent literature，and have important significance.

neutral；multiple delays；functional differential inequalities；eventually positive solutions

O 175.27

A

1007-6883（2016）03-0001-07

责任编辑朱本华

2016-03-08

广东省高等教育教学改革项目（项目编号：GDJG20142396）；广东省高等学校特色创新项目（项目编号：2014GXJK125）.

林文贤（1966-），男，广东潮州人，韩山师范学院数学与统计学院教授.