旋转倒立摆的起摆与稳摆研究与实现

姜香菊　刘二林

(兰州交通大学自动化学院1，甘肃 兰州　730070;兰州交通大学机电学院2，甘肃 兰州　730070)



旋转倒立摆的起摆与稳摆研究与实现

姜香菊1刘二林2

(兰州交通大学自动化学院1，甘肃 兰州730070;兰州交通大学机电学院2，甘肃 兰州730070)

针对倒立摆系统的起摆与稳摆问题，利用Lagrange方程建立了单摆与倒立摆的完整数学模型。采用正反馈控制算法进行单摆的起摆控制，采用双PID算法进行倒立摆的稳摆控制。设计了基于摆杆角度和角速度的两种能量控制切换模式，并进行了仿真验证和实物验证。仿真和实际运行结果表明，所设计的针对角速度的正反馈控制器起摆速度更快，所提出的两种切换模式可以使控制更稳定。

正反馈控制器双PID旋转倒立摆单摆起摆稳摆动力学分析Lagrange方程

0　引言

倒立摆系统是一个不稳定、多变量、强耦合的欠驱动非线性机械系统，可以作为典型的控制对象进行研究。倒立摆的种类很多，有直线倒立摆、旋转倒立摆等。旋转倒立摆受力分析较其他倒立摆复杂，具有不稳定性及非线性，对控制算法有更高的要求[1-2]。

本文采用直流电机、减速机构、微控制器、电机驱动芯片和1 024线小型位置式编码器等，设计了一个一级旋转倒立摆；同时，利用Lagrange方程对系统进行了动力学分析，建立了单摆和倒立摆的数学模型，设计了起摆和稳摆控制器。将设计的控制器移植到微控芯片中进行实际测试，结果表明，设计的系统机械结构合理、响应速度快、鲁棒性好[3-14]。

1　旋转倒立摆基本结构

倒立摆简化模型如图1所示[3-5]。

图1　倒立摆简化模型

旋转倒立摆主要由微控制器芯片、支撑机架、摆杆、旋臂、小型直流电机、减速器、1 024线位置式编码器和H桥电路(BT7960)组成。

旋转倒立摆的旋臂与减速器的旋转轴连接，直流电机驱动减速器输出动力，将高速低扭矩旋转转换为低速高扭矩旋转；位置式编码器1的齿轮与减速器输出轴的齿轮啮合，用来检测旋转臂转过的角度，为旋臂位置PID控制提供实时数据；位置式编码器2安装在旋转臂末端，并通过转轴与摆杆连接，为摆杆角度PID控制提供实时数据。

2　旋转倒立摆数学模型

对于倒立摆系统，当倒立摆处于单摆状态时，系统为稳定系统；当系统处于倒立摆状态时，系统为不稳定系统。倒立摆系统的整个运行过程包括：①对稳定的单摆进行控制，使其脱离稳定状态，并尽快摆至最上方，且角速度接近于0，以达到倒立要求；②对不稳定的倒立摆进行控制，使其稳定直立。所以，整个系统模型应该包括单摆模型和倒立摆模型。

对于倒立摆系统，摆杆有一个自由度α、旋转臂有一个自由度θ，可分别令α和θ为广义坐标系。分析能量组成，可得:

T=T1+T2+T3+T4

(1)

(2)

(3)

(4)

对式(3)进行处理,得式(5)：

(5)

对式(4)进行处理，得式(6)：

(6)

将式(5)、式(6)联立得式(7)，式(7)即为该系统的线性化状态方程。

(7)

式中:N1=-0.224 6;N2=2.969 7;N3=-0.008 7;N4=-0.679 5;N5=-95.454 5;N6=-0.278 3;N7=4.887 3;N8=4.363 6。

状态方程中各参数如表1所示。

表1　状态方程中各参数列表

(8)

3　旋转倒立摆控制器设计

3.1单摆的起摆控制

单摆的起摆问题是控制理论中的一个经典问题。文献[8]利用Bang-Bang控制使单摆摆起，但是由于在控制时没有考虑摆杆角速度的问题，会造成能量的损失，使起摆速度较慢。文献[9]对单摆的起摆问题进行了探讨，并利用能量反馈方法来完成倒立摆的起摆控制，效果良好。文献[9]的控制规律Vm=n×g×sign(a×cosα)是根据单摆基于能量模型得到的。

针对建立的单摆数学模型，可以利用针对角速度的正反馈比例控制算法，使其迅速震荡起来。

其控制规律为：

(9)

图2　单摆控制系统仿真曲线图

通过图2可以看出，摆杆在1.5 s时，摆起角度已经接近3.14 rad，即经过1.5 s，单摆就能达到摆起要求。由于模型中摆杆初始角度的存在，所以旋臂会朝着一个方向旋转。同时，由于仿真时输出限幅为-10～+10 V，所以再增大K，控制效果也无明显变化。

通过仿真可知，基于式(9)的起摆方法较Bang-Bang控制等传统方法效果更好[8]。

3.2倒立摆的稳定控制

为了实现控制目标，采用双PID控制。在控制器中，控制器1对倒立摆摆杆的角度α进行控制，控制器输出极性为正；控制器2对旋臂的角速度θ进行控制，控制器输出极性为负。

双PID控制仿真系统结构如图3所示。

图3　双PID控制仿真系统结构图

在仿真过程中，取Kp1=100、Kd1=0、Ki1=0、Kp2=2.2、Kd2=0.08、Ki2=0.01。

控制器2输出的电压值限幅范围为：-5～+5 V，控制器总体输出的电压值限幅范围为：-10～+10 V。

在控制切换时，倒立摆有以下两种模式：

①仅考虑摆杆角度，在|α|=0.175 rad时进行切换。在模型中，令α=-0.175 rad、a=0 rad/s，其仿真结果见图4(a)～图4(d)所示。

②考虑摆杆角度及角速度，在摆杆的动能和势能之和接近2m2gL时进行切换。在模型中，令α=-0.175 rad、a=1.728 rad/s，仿真结果见图4(e)～图4(h)。

通过对两种不同控制切换方式的仿真结果对比可以看出：当采用方式2对控制方式进行切换时，摆杆几乎没有超调，旋臂旋转幅度非常小[9-12]。

图4　控制切换模式仿真结果图

4　旋转倒立摆实际运行数据分析

将控制算法移植到FreescaleXS128单片机中，通过上位机，对摆杆的角度及旋转转臂的角速度进行监控。倒立摆运行波形图如图5所示。

图5　倒立摆运行波形图

在倒立摆系统运行之初，系统角度为0；在起摆控制方式下，系统开始震荡；在震荡2次以后，系统角度达到倒立摆控制的要求，系统进入稳摆控制模式，倒立摆摆杆被稳定控制在直立位置。由于系统传动齿轮的啮合问题及传感器精度和安装问题，倒立摆稳摆后摆杆有些震荡。

在实际运行时，对两种不同的起摆、稳摆控制切换方式进行对比，在相同电压(8.2 V)下，基于能量原则的起摆切换方式需要的电流更小。

5　结束语

利用Lagrange方程，建立了单摆数学模型及倒立摆数学模型。采用针对角速度的正反馈比例控制算法，可以使稳定的单摆系统震荡，迅速达到倒立摆的起摆要求。该算法较Bang-Bang控制等算法起摆更迅速；使用双PID控制算法使倒立摆稳摆，并对两种不同的控制切换方法进行了对比。与常规切换方式相比，基于能量原则的控制切换方式可以使控制更稳定。

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ResearchandImplementationoftheSwing-upandStabilizingOperationforRotationalInvertedPendulum

Inordertosolvetheswing-upandstabilizingissuesfortheinvertedpendulum,thecompletemathematicalmodelsforsimplependulumandinvertedpendulumarebuiltbasedonLagrangeequation.Thepositivefeedbackcontrolalgorithmisusedforcontrollingswing-upofthesimplependulum,andthedual-PIDalgorithmisusedtocontrolstabilizingoperationoftheinvertedpendulum.Theenergycontrolswitchingoverbasedonangleofswinglinksandangularvelocityisdesigned,andthesimulationverificationandphysicalverificationareconducted.Theresultsofemulatedandphysicaloperationshowthatthepositivefeedbackcontrollerdesignedforangularvelocitymakesfasterswing-up,Theproposedtwokindsofswitchingmodemakemorestablecontrol.

PositivefeedbackcontrollerDualPIDRotationalinvertedpendulumSimplependulumSwingupStabilizingpendulumDynamicsanalysisLagrangeequation

姜香菊(1979—)，女，2003年毕业于兰州交通大学自动控制专业，获硕士学位，副教授；主要从事计算机控制及传感器技术等方向的研究。

TH-3;TP13

ADOI:10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201609002

甘肃省高等学校科研基金资助项目(编号：2014-A-041)。

修改稿收到日期：2016-02-17。