三层媒质中电偶极子的仿真

宋志宏，种满东

（海军装备部驻西安地区军事代表局，西安710054）

三层媒质中电偶极子的仿真

宋志宏，种满东

（海军装备部驻西安地区军事代表局，西安710054）

偶极子模型是进行水下电磁场建模的主要手段，研究其在海水中产生的场具有重要的实际意义。针对这个问题，利用镜像法，在空气-海水-海底三层模型下，在电磁场唯一性原理的基础上，通过矢量磁位方法分别推导了垂直和水平电偶极子在海水中产生的极低频电磁波的解析表达式。通过该方法推导电磁波表达式的过程更加简单，且各个分量有明确的物理意义。仿真结果表明：水平电偶极子的电场和磁场的所有分量场强均大于垂直电偶极子的分量；水平电偶极子在海深方向具有方向性，而垂直电偶极子没有方向性。这些有益的结论为进一步利用垂直/水平电偶极子进行极低频电磁波研究提供参考。

镜像法；三层模型；垂直电偶极子；水平电偶极子；极低频

电磁波在分层导电媒质中的传播，一直受到人们极大的关注，随着水下电、磁传感器灵敏度的提高及信号处理技术的进步，使得水下电磁波远距离被检测到成为可能，因而很多学者开始投入该领域的研究，从而促使了水下电磁波研究的飞速发展［1-2］。无论是在水下通信［3-4］、潜艇探测和通信［5-7］、海洋监测方面［8］，还是在近几年的热点研究如水下航行器的导航与通信［9］、水下无线传感器网络［10］、水下基站数据交互［11］等领域，都需要建立准确的数学模型并通过合适的计算方法来确定介质中的电磁波，因此对电磁波数学模型的建立及其在分层媒质中的传播特性，一直是研究的热点和难点［12-16］。

电偶极子模型是一种最基本的电磁场源，从Sommerfeld开始，人们就关注偶极子天线在分层导电媒质中的辐射问题，建立了一系列诸如此类问题的数学模型；倪海等［17］在假定海水是无限深的情况下讨论了二层导电媒质（空气、海水）中水平电偶极子的辐射问题；卢新城等［18］推导出极低频时谐水平电偶极子在海水中（二层导电媒质）所产生电磁场的近似解析表达式，上述2种研究可用于深海环境（海底影响忽略不计）。但当偶极子天线处于浅海环境中时，由于海底反射波、海底表面波、海面海底之间的相互作用的存在，此时研究海水中电磁波的传播特性时，不能忽略海底的影响，这时需建立三层导电媒质（空气、海水、海底），研究其中偶极子模型的传播特性。陈聪等［19-20］研究了分层导电媒质中顶层极低频时谐电偶极子在绝缘介质半空间中产生的电磁场分布，刘胜道等［21］利用并矢格林函数法推导出三层导电媒质（空气、海水、海底）中垂直/水平电偶极子的解析表达式。

国内外学者分别对水平和垂直电偶极子进行研究。然而，三层媒质中2种偶极子在海水中的极低频电磁场强度对比，该方面还没有人给出明确结论。

镜像法是根据唯一性原理求解某些具有导体边界的电磁场边值问题的一种经典方法［22-23］。本文以空气-海水-海底三层模型为例，通过镜像分别对垂直和水平电偶极子在海水中产生的电磁场进行了推导，计算结果表明，水平电偶极子的所有分量均大于垂直电偶极子的分量，但是水平电偶极子在海水中产生的电磁场在海深方向具有方向性，而垂直电偶极子没有方向性。这些有益的结论为进一步利用垂直/水平电偶极子进行极低频电磁波研究提供参考。

1　三层媒质中的电偶极子模型

考虑各向同性的三层媒质，上半空间为空气（绝缘媒质），中间层为海水（导电媒质），最下层为海底（导电媒质）。如图1所示。垂直/水平电偶极子位于海水介质中，其中偶极子通有电流为I，长度为L，柱坐标系的原点设置在空气和海水分界面上，海水中任意点的场点坐标为（ρ，φ，z）。在区域l（l取1，2，3）中，介电常数为ε1，磁导率为 μ1，电导率为σ1。k1为区域1中的传播常数。需要说明的是海水区域中的ε1和σ1不等于真空中的介电常数和电导率，而是海水中的介质参数，这些参数在很多文献中都有介绍，这里不再详细介绍和推导。

图1　三层媒质中的垂直/水平电偶极子Fig.1 Vertical/horizontal electric dipole in three medium

2　镜像法推导矢量磁位

众所周知，根据麦克斯韦方程组推导电磁场的表达式主要有波动方程、傅里叶变换和矢量位等3种方法。由于通过矢量位方法推导得到的电磁场表达式，物理意义更明显，公式推导更方便，越来越多的学者采用该方法推导电磁场解析表达式，本文也采用该方法推导垂直/水平电偶极子在三层媒质中的电磁场的解析表达式。鉴于篇幅有限，本文只给出了垂直电偶极子的详细推导过程，水平电偶极子可通过同样推导方法得出解析表达式，在后面直接给出其最终表达式，这里不再赘述。

采用镜像法推导矢量磁位时，需要先将三层媒质简化为二层媒质，分别推导出2个分界面的反射系数，再推导2个界面都存在时总的矢量磁位。

2.1仅存在空气和海水分界面

仅存在空气、海水二层媒质时，由于矢量磁位平行于偶极子方向，只有z分量。在海面之上空间不存在场源，在区域1中矢量磁位A1z满足齐次标量亥姆霍兹方程［24］，即

式（1）可以用分离变量法求解。由于垂直偶极子的旋转对称性，通解与方位角无关，可以写出矢量磁位A1z的表达式。即

式（2）中的指数取正号，是因为海面之上坐标z是负值。式（2）实际上是垂直电偶极子产生的、透过边界面的矢量磁位。

在区域2中（垂直电偶极子所在区域），矢量磁位满足非齐次标量亥姆霍兹方程，即

如图2所示，场点位于海水中，即z≥0，则由镜像法可设像I′L位于），全空间视为充满海水。式（4）第1项是齐次标量亥姆霍兹方程的通解；第2项是非齐次标量亥姆霍兹方程的特解。从物理意义上说，第1项为像（z=0界面反射）在场点产生的矢量磁位；第2项为源在场点产生的矢量磁位；区域2中的矢量磁位是源和像（z=0界面反射）的矢量磁位之和。

图2　镜像法求二层媒质（空气-海水）时海水中的场Fig.2 Deriving the field of seawater in the two media（air-seawater）by mirror method

根据垂直矢量磁位的边界条件：

式（6）第1项是场源（垂直电偶极子）产生的矢量磁位；第2项是像（z=0界面反射）产生的矢量磁位；-P可以看作是界面（空气-海水）对不均匀平面波谱的反射系数。

2.2仅存在海水和海底分界面

当仅存在海水、海底二层媒质时，同理2.1中的分析可知，区域2内源和像（z=D界面反射）共同在场点产生的矢量磁位的表达式为：

同理，式（7）第1项是源（垂直电偶极子）在场点产生的矢量磁位，第2项是像（z=D界面反射）在场点产生的矢量磁位。-Q可以看作是界面（海水-海底）对不均匀平面波谱的反射系数。

2.3存在2个平行界面

当z=0和z=D界面同时存在，场点处的矢量磁位不仅是由源和2个像产生，还包括2个界面间n次反射后的到达场点的矢量磁位。因此，位于海水中一个垂直电偶极子在海水中的场点处产生的场，用图3所示的无穷多个镜像垂直电偶极子分别在无限大的海水空间产生的场的叠加来等效。-P和-Q分别是2个分界面的反射系数，对图3中场源和所有镜像源，相对应的传播路径及其矢量磁位表达式见表1。通过对比分析，可将电偶极子及其所有的镜像划分为4类，见表2。表中：m=0，1，2，…，n=1，2，…。三层媒质中，区域2内总的垂直矢量磁位的表达式为：式（8）中，

图3　三层媒质时的垂直电偶极子的镜像Fig.3 Mirror by VED in three medium

表1　场源和镜像源对应的传播路径及矢量磁位表达式Tab.1 Propagation paths and magnetic vector expressions from source and mirror sources

表2　根据不同位置划分的4类场源和所有镜像Tab.2 Source and mirror sources classified into four categories depending on the location

3　海水中的电磁场表达式

对于线性、均匀、各向同性导电媒质，由Max-well方程组可得时谐电磁场的矢量磁位A、电场强度E和磁感应强度B满足：

3.1垂直电偶极子

由于垂直电偶极子的矢量磁位只有z分量，且不随方位角变化，因而在柱坐标系内只产生1个磁场分量，2个电场分量，即径向电场公式为：

式（11）中，

垂直电场和方位角磁场分别为：

3.2水平电偶极子

由上面推导得水平电偶极子的各方向的电磁场。

径向电场公式为：

方位角电场公式为：

垂直磁场公式为：

径向磁场公式为：

方位角磁场公式为：

垂直电场公式为：

式（13）～（19）中：

4　仿真实验

前面给出了垂直/水平电偶极子的解析表达式，可以通过仿真对比分析2种偶极子的电磁场强度。本文解析式中的积分采用高斯勒让德数值积分的方法来求解，在不追求算法速度的条件下，该方法计算过程简单且结果足够精确，可得到足够准确的结果。

仿真条件：垂直/水平电偶极子的电偶极矩都为1L=10 C·m，频率为3Hz，海水的深度为D，场源深度为z0，接收点深度为z，各种介质参数如表3所示。

表3　三层媒质的介质参数Tab.3 Three medium medium parameters

数值计算结果如图4所示。图4是场源深度40 m，场点深度20 m，海水深度100 m时，海水中2种电偶极子的电场和磁场各个方向场强分量与水平距离的关系曲线，VED表示垂直电偶极子，HED表示水平电偶极子。

图4　海水中极低频垂直/水平电偶极子产生的电场、磁场强度与水平距离的关系Fig.4 Relationship between field intensity and horizontal distance by ELF vertical/horizontal electric dipole in the seawater

从图4可以看出：2种电偶极子的电场和磁场各个方向的场强分量衰减趋势相似，在近场衰减很快，随着距离的增加，衰减逐渐趋于平稳；此外，水平电偶极子的所有分量均大于垂直电偶极子的分量，同方向的场强差大约都在60 dBm左右。因此，采用偶极子天线模拟场源时，可以首先考虑水平电偶极子。

图5是场源深度200 m、海水深度400 m时对2种电偶极子电场E2ρ分量场强空间分布的仿真计算。

图5　海水中极低频垂直/水平电偶极子产生的电磁场的空间分布Fig.5 Spatial distribution of electromagnetic field by ELF vertical/horizontal electric dipole in the seawater

显而易见，海水中水平电偶极子在海水中产生的电磁场在海深方向具有方向，而垂直电偶极子没有方向性。水平电偶极子的其他5个分量也同样具有方向性，垂直电偶极子的其他2个分量没有方向性（由于篇幅限制，这里没有给出仿真结果图）。因此，在接收水平电偶极子发射天线的远场信号时，需要考虑方向性对场强的影响。

5　结论

本文利用镜像法，在空气-海水-海底三层模型下，在电磁场惟一性原理的基础上，通过矢量磁位方法详细的推导了垂直电偶极子在海水中产生的电磁场的解析表达式，并给出了水平电偶极子的解析表达式。通过该方法推导电磁波表达式的过程更加简单，且各个分量有明确的物理意义，能够清晰地反映出电磁波的传播路径。

本文通过对2种偶极子的仿真对比得出以下结论：2种电偶极子的电场和磁场各个方向的场强分量衰减趋势相似，在近场衰减很快，随着距离的增加，衰减逐渐趋于平稳；水平电偶极子的电场和磁场的所有分量场强均大于垂直电偶极子的分量，同方向的分量差大概在60 dBm，在模拟场源时可以优先选择水平电偶极子；水平电偶极子在海深方向具有方向，而垂直电偶极子没有方向性。因此研究水平电偶极子时，为了获得最佳接收效果需要考虑其方向性。

这些有益的结论为进一步利用垂直/水平电偶极子进行极低频电磁波研究提供参考。

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Simulation Analysis of Electric Dipoles in Three-Layer Medium Model

SONG Zhihong，ZHONG Mandong
（Military Representatives Bureau of Naval Equipment Department in Xi’an District，Xi’an 710054，China）

The dipole model in sea is the major measures in electromagnetic field，so it is practically important to study the fields in the sea generated by the dipole.In the three layers model of air-sea water-seafloor，the analytical expressions of ELF（extremely low frequency）EM（electromagnetic）wave produced by VED（vertical electric dipole）and HED（horizontal electric dipole）source located in seawater which had been derived in the space of seawater by using the mirror image theory according to the uniqueness theorem of electromagnetic field.The physical meaning was more apparent，and the derived formula was more convenient through this method.Simulation results showed that all the components of the HED the field intensity of electric and magnetic fields are greater than the VED.The HED had the directions in the sea deep，but not the VED.These conclusions provided

for the ELF EM wave studies by the HED and VED.

image method；three layers model；vertical electric dipole；horizontal electric dipole；extremely low frequency

O451

A

1673-1522（2016）04-0423-07

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.004

2016-01-18；

2016-04-21

宋志宏（1977-），男，工程师，硕士。