点击一元二次方程问题中的等量关系

吴琳

可列一元二次方程解决的问题有多种，不管哪类问题，要列出一元二次方程，其关键在于寻找问题中的等量关系.本文试通过下列几个问题，和同学们一起来探讨列一元二次方程的几种常见等量关系.

一、 增长率问题

例1 （2016·湖南永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.

（1） 求该种商品每次降价的百分率；

（2） 若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

【思路分析】（1） 本题隐含的等量关系是“标价×（1-降价百分率）2=售价”，将售价、标价和降价百分率代入等量关系，即可得到解决问题所需的一元二次方程；（2） 本题包含一个不等关系“第一次降价时销售总利润+第二次降价时销售总利润≥3 120”，而销售利润=销售件数×每件利润.将销售件数和每件的利润分别代入不等关系，即可得到一个不等式.

解：（1） 设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意得：

400（1-x）2=324.

解得x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）.

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

（2） 设第一次降价后至少要售出该种商品m件，根据题意得：

[400（1-10%）-300]m+（324-300）（100-m）≥3 120.

解得m≥20.

答：第一次降价后至少要售出该种商品20件.

【方法点拨】增长率问题中，若增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a（1+x），第二次增长是以a（1+x）为基数的，两次增长后的数量为a（1+x）2；基数是a，两次平均降低率为x，则第一次降低的数量为a（1-x），第二次降低后的数量为a（1-x）2.

常用的等量关系为a（1±x）2=b.

二、 病毒传播问题

例2 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【思路分析】设平均一台电脑会感染x台电脑，经过第一轮感染后，中毒电脑台数为（1+x）台，在第二轮传播中，每台电脑传染给x台，又有x（1+x）台电脑中毒，两轮传播后，一共有1+x+x（1+x）台电脑中毒.

解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：

1+x+（1+x）x=81，

（1+x）2=81，

x+1=9或x+1=-9，

解得x1=8或x2=-10（舍去），

则（1+x）3=（1+8）3=729>700.

答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.

【方法点拨】在计算电脑传播台数的时候，不能忘记统计最初的一台电脑以及一轮传播过程中被感染的电脑，病毒传播问题常用的相等关系是“最初的传染源+每轮被感染数目之和=被感染总数”.

三、 聚会握手问题

例3 在某次同学聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手45次，有多少人参加这次聚会？

【思路分析】设x人参加聚会，用含x的代数式表示握手的次数，即可得到一个一元二次方程.

解：设有x人参加这次聚会，

根据题意可得：x（x-1）÷2=45，

x2-x-90=0，

（x-10）（x+9）=0，

x-10=0或x+9=0，

x=10或x=-9（舍去）.

答：共有10名学生参加聚会.

【方法点拨】x个同学握手，每个同学都和其他（x-1）个同学握手一次，因此x人共握手x（x-1）次，由于甲与乙握手后，乙不需要再和甲握手，因此总握手次数为.

四、 票价问题

例4 某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4 800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？

【思路分析】由于票价与人数多少有关，所以需先判断团体人数是不是超过25人，由150×25=3 750<4 800，所以团体人数超过25人.设共购买了x张团体票，则每张票的价格为150-2（x-25）元，根据总票价为4 800，可得方程x×[150-2（x-25）]=4 800.

解：∵150×25=3 750<4 800，∴购买的团体票超过25张.

设共购买了x张团体票.

由题意列方程得x×[150-2（x-25）]=4 800，

x2-100x+2 400=0，

解得x1=60，x2=40，

当x1=60时，不符题意，舍去，

x2=40符合题意，∴x=40.

答：共购买了40张团体票.

【方法点拨】本题的等量关系实际上就是表示出总票价4 800，而“总票价=每张票价×门票总数”，所以这类问题只需按照游客人数，确定出门票的单价和购买门票总数，即可列出一元二次方程.

五、 不规则图形面积问题

例5 （2016·江苏徐州）下图是由三个边长分别为6、9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）.

A. 1或9 B. 3或5 C. 4或6 D. 3或6

【思路分析】解决本题的关键是如何将不规则的图形转化为规则图形. AB将这个图形分成面积相等的两部分，但这两部分是不规则的图形，面积不容易表示，我们可以考虑将其补全为一个矩形，那么AB将矩形分成面积相等的两个直角三角形，再根据题意可知，AB两旁补上的矩形面积也相等.据此列出方程，进而求出x的值.

解：将此图形按如图方式补全为矩形，根据题意得：x（9-x）=6×3，

x2-9x+18=0，

解得：x1=3，x2=6，故选择D.

【方法点拨】在解决不规则图形的面积计算时，通常是通过分割或补全的方法，转化为规则图形，再使用规则图形的面积公式进行计算.等量关系常与图形之间的面积关系有关.

六、 铁丝围矩形问题

例6 （2015·四川广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.

（1） 要使这两个正方形的面积和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2） 李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由.

【思路分析】（1） 设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（10-x） cm，就可以表示出这两个正方形的面积，根据“两个正方形的面积之和等于58 cm2”建立方程求出其解即可；

（2） 设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为（10-y） cm，就可以表示出这两个正方形的面积，根据“两个正方形的面积之和等于48 cm2”建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确.

解：（1） 设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（10-x） cm，

由题意得x2+（10-x）2=58.

解得x1=3，x2=7，

∴这两个正方形的周长分别为4×3=12（cm），4×7=28（cm），

∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.

（2） 李明的说法正确.

设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为（10-y） cm，

由题意得y2+（10-y）2=48，整理得y2-10y+26=0，

∵Δ=（-10）2-4×1×26=-4<0，

∴此方程无实数根，即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm2.

∴李明的说法是正确的.

【方法点拨】本题中的等量关系很明确，“两个正方形的面积和等于58 cm2”.

（作者单位：江苏省南通市新桥中学）