数形结合在中职数学教学中的应用策略

程国祥

客观世界是一个普遍联系的整体，任何事物都不是孤立存在的，而是通过各种方式与其他事物相互依赖、相互作用、相互制约.数学研究的两类基本对象——数与形，亦是如此.在中职数学教学中，可以把有些数量关系问题转化成图形性质问题或者把有些图形性质问题转化成数量关系问题来研究，即以“形”助“数”或以“数”赋“形”.数形结合的实质是将形象直观的图形与抽象的数学语言符号联系起来，将形象思维和抽象思维结合起来，从而通过形象直观的图形实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，达到化难为易、化繁为简的目的.

一、数形结合在中职数学教学中的运用

我国著名数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”可见，数形结合对数学研究的重要性.中职教材（江苏省职业学校数学教材编写组编的《数学》基础模块）中的每一章教学内容都可以用到数形结合的方法.

在《集合》教学中，数集可借助于数轴，点集可借助于平面直角坐标系，集合与集合的关系可借助于维恩图，这样把抽象的问题具体化，以形助数.例如：某职业学校数学兴趣小组有13名学生，计算机兴趣小组有12名学生，已知这两个兴趣小组共有20名学生，请问：有多少名学生同时参加了这两个兴趣小组？此题借助于维恩图，不难得到答案：13+12-20=5.

在《函数》的教学中，由于函数内容本身具有抽象性，而中职生在抽象思维水平方面存在不足，因此在本章的教学中可采取“直观领路，抽象跟进”的教学思路.用图像、表格等形式让学生认识函数，对函数单调性、奇偶性、周期性的研究应当基于对直观图像的分析.例如：判断函数y=|x|的单调区间、奇偶性.可先画出该函数的图像，从图像上可直观地得出其单调区间、奇偶性.

在《三角函数》教学中，让学生画角理解正角、负角、零角；通过三角形的相似说明三角函数值与角终边上的点的位置关系无关；三角函数的定义域、值域反映了图像在直角坐标平面内展开的范围，单调性反映了图像的升降，奇偶性反映了图像关于y轴或原点的对称，周期性反映了图像沿x轴方向每隔一定距离重复出现；通过单位圆中的三角函数线及三角函数图像求三角函数的定义域、值域、单调区间、比较大小、解三角不等式、讨论方程实根的个数，推导诱导公式等.例如：判断方程sinx=lgx解的个数.此题画出函数y=sinx与y=lgx的图像（如图1，注意两个图像的相对位置关系）.观察图像的交点，可得出结论：3个.

在《平面向量》教学中，平面向量集数、形于一体，具有代数与几何的“双重身份”，是数形结合的桥梁.向量的加法、减法、数乘都具有几何意义，用平行四边形法则、三角形法则说明向量的加减法；在直角坐标系中用坐标表示平面向量，用坐标判断向量与向量间的平行（共线）、相等、相反关系，用直角坐标运算的规律进行向量的加法、减法、数乘运算，用向量起点、终点的坐标表示向量的坐标.例如：已知平行四边形ABCD的顶点A（-2，-1），B（3，0），C（2，3），求第4个顶点D的坐标.本题的解法之一，就是构造向量的相等，通过向量的坐标运算解决.

在《直线与圆的方程》教学中，数形结合的数学思想方法在本章教学中得到很好的体现，是贯穿于本章教学始终的重要方法，是突破本章教学难点的重要方法，是解决本章问题的基本思想方法.从两点间距离公式、中点公式，直线的倾斜角、斜率，到讨论直线、圆的方程，以及它们之间的位置关系都应该做到数形结合，这样能让学生更好地理解本章教学内容.例如：判断直线x+y-4=0与x+y=9圆的位置关系.本题可以用圆心到直线的距离与半径的大小比较判断.

在《立体几何》教学中，棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等立体几何图形中描述其相关特征的量都是用符号表示的，在求它们的全面积、体积时要将公式中符号所表示的几何特征与图形对应起来.例如：已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，求其体积.先作图，不难得到圆锥的母线长、高、底面半径三者间的关系，由勾股定理可求得高为4，最后代入体积公式中可求出其体积.

在《概率统计》教学中，用维恩图表示随机事件的关系，借助于几何图形的性质辅助解决概率问题；利用频率分布直方图对总体分布规律进行估计；利用散点图直观体现两个变量之间的线形相关关系.例如：甲乙两人约定于下午2点至下午3点在某地会面，先到者等20分钟后离去，求两人能会面的概率.假设甲乙两人到达的时刻分别2点x分，2点y分，当|x-y|≤20能会面（即图3中的阴影部分）.用阴影面积除以正方形面积即为所求概率.

二、数形结合的作用

通过教学实践证明，在教学中运用数形结合的思想方法，对中职生是大有裨益的

1.激发中职生的数学学习兴趣。爱因斯坦认为：“兴趣是最好的老师.”通过数形结合的数学美，让中职生领略数学的美，从而使中职生对数学产生深厚情感、浓厚的兴趣和强烈的求知欲；让中职生消除对数学学习的恐惧心态，让中职生从“要我学数学”转变成“我要学数学”.

2.提高中职生的思维能力。人的左、右半脑的功能各有特征，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，右半脑功能则偏重于形象思维，如果互相补充就会使大脑功能更健全和发达.数形结合就同时运用了左、右半脑的功能，促进了中职生的形象思维能力、逻辑思维能力的同步发展.能够促进中职生多层次、多角度、全方位地思考问题，让中职生养成多向性思维的好习惯.同时也提高中职生对数学知识的记忆和理解.

三、运用数形结合的思想方法注意点

1.在解决数学问题时，是选择用代数方法还是选择用几何方法，还是选择用数形结合方法，是取决于用哪种方法更简便、容易让学生接受，而不要刻意用数形结合.

2.数形结合时，几何问题与代数问题的转换要是等价的，否则就很有可能会出现漏洞.并且，由于图形的局限性，图形的性质只是直观而浅显的说明，而不能完整地表现数的特性.

3.在数形结合时，既要进行代数抽象的分析，又要进行几何直观的分析，两者是相辅相成的，不能仅对几何问题进行代数分析，或者仅对代数问题进行几何分析.

4.数形结合时画图要基本准确，切忌随意画图.

5.要合理运用数形结合的思想方法，就要熟练掌握某些概念、运算的几何意义和常见图形的代数特征，做到胸中有图，见数想图.

参考文献：

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[4]邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用[J].河北理科教学研究，2005（3）.

[5]杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用[J].河北理科教学研究，2008（3）.