从一道中考题谈相似三角形的单元试题命题

张先进

2011年三明中考数学第23题：在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

（2）直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

中考是初中学生学习的终结性考试，近年来中考数学试题在关注基础知识和基本技能的考查的同时，也强调了在较复杂的几何图形中分解出简单的基本图形能力.有一些基本图形，需要在教师的指导下，让学生观察、思考、概括、提炼才能形成模型.下面我就以这道相似题为例谈谈对相似三角形单元试题命题的一些看法.

试题中第一问考什么呢？考相似三角形的判定.这在相似三角形单元教学中，是一个常见的基础题.

荷兰著名教育家弗赖登塔尔认为：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种‘再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”

一题多变可引导学生积极思考，可挖掘思维深度.我们可把这常见的题型进行如下改变.

一、改变题目的形式

和全等三角形教学类比，有这样一题：如图②，∠B=90°，∠D=90°，C为BD上一点，且AB=CD，BC=DE，求证：AC=CE.

四、进行变式训练

1.如下图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5Mm，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房MN的高度（精确到0.1m）.

2.（2012朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）.连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F.

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论.

在相似三角形单元试题命题时，抓住基础题型，基本图形，适当进行延伸、拓展，有助于教学，有利于学生理解，有助于我们理清平时的教学思路，调整平时的教学重点，弥补平时的教学不足之处.

在相似三角形单元试题命题时，从基础入手，把握教材、理解教材，通过对习题的编制，为学生提供更广阔的学习、研究数学的空间，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力.

从2011年中考这道题中，体现了基础的重要性，虽然是一道综合题，但分解开来，是一个个基础的问题，这就要求我们在单元试题命题时，从课程标准出发，从教材入手，进行延伸、拓展，对于这次我们所说的这道基础题，通过对它的改编、测试、讲评与类比，学生对一般性结论的探寻有了自己的思考；对于相似、相近知识之间的衔接点有了更清晰的认识；更利于学生形成属于自己的知识网络.当然学生知识经验、基本数学思想的形成是一个长期过程，要在今后的学习中慢慢积累.

在掌握基础题型、基本图形后，对于试题命题的研究还是不够的，我们还要进行串联不同的问题，类比编题等.

串联不同的问题：

（2015汉阳区校级模拟）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为？摇？摇；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：∠PEF的值是否发生变化？请简单说明理由.

（3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？

类比编题：

2009-2010年安岳县九年级上数学期末试题：

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角顶点P在AD上滑动到某点（点P与A、D不重合），射线PN经过点C，身线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F.

（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；

（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的4倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由；

（3）在点P的运动过程中，点E能与B重合吗？若能，求出重合时DP的长，若不能，说明理由；

（4）认为线段FC的长有最大值吗？有最小值吗？（直接回答，不必说明理由）

命题与课堂教学一样，是一门艺术，章建跃教授提出数学教学的三个理解：理解数学，理解学生，理解教学.这在单元试题命题时，要符合好的数学题目的标准，依据学生的认知规律，从简单的、特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，引导学生先对简单的、特殊的问题进行分析获得灵感来解决一般的、变化的、拓展的问题.单元试题命题不仅关注学习的结果，更关注学习的过程，让学生处于熟悉而陌生的情景中，把知识、经验、方法、思想结合起来分析探索，找到解题的思路，从而达到章建跃教授提出数学教学的三个理解.

好的单元试题命题对教学起了良好的导向作用，加深了学生对数学的理解.从这道中考题中得到启发，平时单元试卷的命题，以教材为本、从基础入手，符合学生的实际，理解数学，理解学生，理解教学.