用生长代替重复——《长方形和正方形的周长》的课例研究

浙江安吉县实验小学　　吴韵波

用生长代替重复
——《长方形和正方形的周长》的课例研究

浙江安吉县实验小学吴韵波

《长方形和正方形的周长》是三年级上册的一节传统计算课，与以往不同，最新审定版的教材在学习本节课之前，专门安排了整整两节课来认识周长和了解长方形、正方形的特征。通过前面的学习，学生已经充分理解了周长的含义，对于“如何计算平面图形的周长”也有了相应的感悟。那么，改版后的这节课目标定位又该如何？有了更充裕的教学时间，课堂中的我们应该关注些什么呢？针对这些困惑，我们备课组决定就这一教学内容进行一次课例研究。

【令人汗颜的第一次】

一、复习引入

1.师：什么是周长？说说怎样的图形有周长。

2.先指一指下面图形的周长，再量一量，算出它们的周长各是多少。

二、长方形、正方形的周长公式探究

1.探究长方形周长公式

师出示右图，让学生先独立计算这个长方形的周长，然后组内交流，最后全班交流。

全班展示时，学生共有4种方法：（1）6+4+6+4=20。（2）6+6+4+4=20。（3）6×2+4×2=20。（4）（6+4）×2=20。师让学生择优：这么多种方法你比较喜欢哪种方法？为什么？学生普遍喜欢前三种，只有两个学生认为第四种比较优，理由是这样做少算一步。

2.探究正方形周长公式

（出示正方形）这个正方形的周长你会算吗？学生先动手量一量，算一算，再指名反馈。学生共有3种方法：（1）5+5+5+5=20。（2）5×2+5×2=20。（3）5×4=20。

师：这么多算法你喜欢哪种方法？学生大部分喜欢前两种。

师：为什么？（生：这样算比较简便）

三、巩固深化，解决实际问题

一块长方形木板，长90分米，宽60分米。如图截去一块边长为30分米的正方形。

（1）周长会变吗？为什么？

（2）计算它的周长。

【前后测结果对比】

本次课例研究的前后测采用同一个班同样两组学生（共12人），前后测结果基本没有变化，会的还是会，不会的还是不会。

【原因分析】

1.教师注重算法的教学，而忽略了周长意义的理解，更没有意识到“周长”与“长方形、正方形的周长”的一般与特殊的关系，即没有找对这节课的知识生长点。

2.本节课教师始终把目光聚焦在长方形、正方形周长公式的推导和优化上，虽然教师希望学生能更倾向于第四种算法，但这只是一厢情愿。课堂中喜欢第二种和第三种算法的学生占大多数。周长的本质就是连加求和，前三种方法思维水平低，比较容易理解，是学生眼中的好方法。而第四种方法思维水平高，内涵丰富，是在“加数相同，用乘法计算比较简便”基础上知识进一步发展的结果，是形式的简化，因为难以理解，所以感受不到它的优越性，以致学生不喜欢，不愿意用。

【达成共识】

基于以上原因的分析，经过大家的共同商讨，我们达成了这样的共识：

1.计算长方形和正方形的周长只是计算周长的一个特例

求平面图形的周长本质是连加求和，三角形就是三边之和，四边形就是四边之和，五边形就是五边之和……即使是不规则图形，只要将它一周的长度连加即可。任意图形边长没有规律，所以只有连加一种计算方法。而有些特殊图形的边的长短是有规律的，如长方形、正方形、平行四边形、正三角形、正五边形等，它们可以有多种算法，当然也有属于自己的特殊算法。本节课的学习就是从一般到特殊，从不规则到规则的过程。

2.长方形和正方形边的长短特征是它们周长算法多样化和优化的基础

数学知识不是孤立存在的，每一种算法都有其存在的基础和发展形态。长方形周长四种算法中第一、二种“四条边相加”的方法是原始方法，能直接体现周长的意义。而第三、四种是在“四条边相加”的基础上发展起来的。因为正方形有“四边相等”的特点，长方形有“对边相等”的特点，因而带来了数据和计算方法的特殊性。课堂中我们可以引导学生观察发现长方形和正方形作为特殊四边形它们到底特殊在哪里，再以“计算长方形和正方形的周长最少要量几条边的长度”为切入口，使学生经历算法的发展过程，理解新算法产生的原因，沟通各算法之间的联系，使学生知其然，并知其所以然。

【精彩纷呈的第二次】

环节一：增加求一般图形的周长的方法小结

环节二：调换长方形和正方形周长的计算方法的探究过程

在比较择优正方形周长的计算方法后质疑：为什么只知道一条边就可以算出正方形的周长？小结板书：加数相同，用乘法计算比较简便。

除了正方形，你还想到了哪些图形也只要知道一条边，就可以算出周长的？

怎么求？你有什么发现？

小结：每条边长度都相等的图形都可以用“边长×边数”算出它的周长。

环节三：（出示长方形如下图），请算出它的周长

当学生举足不前时质疑：不是只知道一条边就可以算出周长吗？

长方形与刚才那些图形相比又有什么不同之处？

要计算长方形的周长最少需要测量出几条边的长度？为什么？

已经知道了长是79厘米，还需要知道什么？（出示：宽21厘米）

学生先独立完成，再汇报结果，同时说明理由和想法，师利用课件相机一一演示。尤其是（79+21）×2，质疑：这种方法是先算什么？请用彩笔在图中描出（79+ 21）。为什么还要×2呢？（师板书：长+宽×2这样写行吗？）为什么？

这么多种方法你比较喜欢哪种方法？为什么？79 和21加起来刚好是多少？这样先加起来有什么好处？

环节四：练习巩固

1.出示长9厘米，宽3厘米的长方形，用自己喜欢的方法算一算它的周长。

①想象：如果宽不变，把长增加1厘米，那么周长会变吗？怎么变？计算验证猜测。

质疑：为什么长增加1厘米，而周长增加了2厘米呢？如果长不变，宽增加3厘米呢？

②拉动长方形变成长6厘米，宽6厘米的正方形，求出它的周长。

反馈后质疑：为什么可以用长方形的周长算法求正方形的周长呢？

③比较这个长9厘米，宽3厘米的长方形和边长6厘米的正方形，说说你的发现？与它们周长一样的长方形还有哪些？

2.一块长方形木板，长90分米，宽60分米。如下左图截去一块边长为30分米的正方形，

（1）周长会变吗？为什么?

（2）计算它的周长。

（3）假如像这样截去一个正方形（出示右图），周长会变吗？

环节五：拓展延伸

3.下面这个楼梯的图形最少需要量出几条边才能算出它的周长？哪几条？为什么？

量一量，移一移，算一算。

【课后反思】

前后两节课，作为一个研究者，我坐在学生中间，静静地观察着，记录着，思考着。

1.理解算理先行，优化算法垫后

长期以来，长方形、正方形的周长采用“公式—例题—习题”的教学结构模式，是把重点放在周长公式的结果上，还是注重引导学生在测量具体图形中探索周长的过程，则是两种不同教育观的反映。第二堂课把教学的侧重点放在研究周长算法的策略上，从已知的一般四边形周长“四条边相加”入手，再到求相对于简单些的四边相等的正方形周长，根据“加数相同，用乘法计算比较简便”的原则，可以很容易地优化并理解“正方形的周长=边长×4”的算理。进而联想到每条边长度都相等的图形都可以用“边长×边数”算出它的周长。避免了学生学习长方形和正方形的周长后，三角形的周长、多边形的周长及简单的不规则图形的周长不知如何求的尴尬局面，为我们提供了概念教学的新方向。

对学生学习的难点——长方形的周长公式的理解，教师设置了以下几步：（1）故意设置陷阱，只给出一条边就让学生计算它们的周长。学生在拿到问题后，往往会迫不及待地拿起笔想列式计算，然后却发现没有必要的数据，使学生更深刻地理解计算长方形与正方形的周长的不同之处，是由长方形边的特征决定的，从而明白求长方形的周长必须知道长和宽。（2）给出宽的长度，让学生自主探究长方形的周长算法。（3）教师配合学生的回答用多媒体课件动态演示其周长的拼接过程，帮助学生直观地理解算法，进而明白其中的算理。（4）在多种方法并存的情况下，教师有意设计的求长79米、宽21米的长方形的周长，使学生体验到先算长加宽的和能凑整，这样计算起来非常方便，逐步实现在这种情境下算法的优化。

2.课堂要注重数学思想的渗透

在“有形”的数学知识中，必定蕴含着“无形”的数学思想方法。学生的数学思想形成过程是一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。在这个过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断地积累、不断地感悟、不断地明朗，直到最后的主动应用。本堂课中可以渗透转化和优化思想。在测量时，规则图形没必要把所有的边全部测量，而是要根据图形的特点，比如长方形、平行四边形都有对边相等的特性，只需要测量两条相邻的边就行了，而对于正方形则只需要测量一条边就行了，这样测量与计算并重，大大提高了效率。最后的拓展题将不规则的形似楼梯的图形通过线段的平移，转化为长方形，巧算出周长，培养学生的转化意识和空间观念。

最后，用著名特级教师俞正强《种子课》中的一段话为我们这次课例研究作结：用生长代替重复，就是将数学知识植根于学生的经验之中，这样，学生的所有经验就会支撑“种子的芽”进行生长。