基于0-1测试法的Verhulst种群序列混沌识别

熊绪沅，万 丽，b*，赖佳境

（广州大学a.数学与信息科学学院；b.数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广东　广州 510006）

基于0-1测试法的Verhulst种群序列混沌识别

熊绪沅a，万 丽a，b*，赖佳境a

（广州大学a.数学与信息科学学院；b.数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广东广州 510006）

0-1测试法是通过离散数据转化变量的线性增长率K（c）的输出值是否趋近于1或0来判断离散序列是否具有混沌特性的新方法.以经典Verhulst种群模型生成的3组时间序列（弱混沌、完全混沌、3-周期）为研究对象，对不同的增长因子λ和数据长度N进行序列模拟，验证0-1测试方法的有效性和抗噪性.结果显示：0-1测试法能有效识别Verhulst序列的混沌特征，其中弱混沌序列K（c）值随数据长度的增加不断增大到0.700 3，完全混沌序列的K（c）值趋于1，3-周期序列K（c）值趋于0；进一步对3种序列添加正态白噪声（噪声比=5%），添加后对应K（c）值的变化不大，说明低强度噪声并不能影响其序列具有的内在非线性特性，即0-1测试法具有一定的抗噪性.

0-1测试；混沌识别；Verhulst种群模型；正态白噪声

混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的类似随机的现象，它不是简单的无序，表面是没有明显的周期和对称，但却是具有丰富的内部层次的有序结构，是非线性系统的一种新的存在形式［1］.混沌系统的最大特点就是对演化的初始条件十分敏感，因此，从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的.混沌时序分析是混沌和时序分析相互渗透的一门学科.自20世纪90年代以来，混沌时序分析在股票预测、电力系统预报、水文预报、DNA序列分析、水下目标识别、矿化识别等方面都有较成功的应用［2-8］.如何鉴别时间序列是否具有混沌吸引子存在，是研究其混沌性的首要任务.目前，常用的混沌识别方法主要有：相图法、频谱分析法、庞加莱映象法、饱和关联维数法、K熵法和Lyapunov指数法等.但这些混沌识别方法均存在一定的适应范围和局限性［9-10］，如：相图法虽然简单直观，但精确度不高；频谱分析法对于受到噪声影响的序列很难从其频谱上区分其运动模式；庞加莱映象法不能区分混沌和完全随机运动；采用G-P算法计算关联维数时参数的选取并不是客观的，没有通用的参数选取标准；最大Lyapunov指数法的计算结果并非直接得到，延迟时间和嵌入维数的确定具有一定的主观性和不确定性.而0-1测试法是一种不需要相空间重构，可直接通过计算离散数据转化变量的线性增长率K（c）值是否趋近于1或0来判断混沌是否存在的方法［11-13］，已在天文、气象、交通和水文等领域有应用［14-17］，但该方法对参数选取范围和小数据量的有效性和抗噪性有待深入研究.

本文以Verhulst种群增长模型序列为研究对象，对不同的增长因子λ和数据长度N进行序列模拟，验证0-1测试法对混沌识别的有效性和抗噪性，为进一步应用于实验数据的混沌判别和筛选提供借鉴.

1　0-1混沌识别方法

设已知离散的时间序列为φ（j），其中j=1，2，…，N，令c为区间（0，π）上的随机常数，分别计算：

如果动力系统是非混沌的，如周期的或倍周期的，pc（n）-qc（n）轨迹图是有界稳定的；如果动力系统是混沌的，pc（n）-qc（n）轨迹图渐进表现为布朗运动.定义Mc（n）为pc（n）和qc（n）的均方位移函数：

pc（n）和qc（n）的敛散性也可以由Mc（n）的表现来衡量，如果给定的时间序列是有序的，则Mc（n）是一个有界量；如果给定的时间序列是混沌的，则Mc（n）是N的线性函数.由于Mc（n）的收敛性不好，故对均方位移函数进行修正为

上式中Δn=（Dc（1），Dc（2），…，Dc（n））T，n=（1，2，…，n）T，eTn=（1，1，…，1）T∈R Rn.本文采用第二种相关系数法，因为该方法判定时间序列的混沌特性比回归方法更显著.理论上，c可以在区间（0，π）上随机产生，但c的取值可能和时间序列的傅里叶分解产生频率共振，为此进一步限制c∈（π/ 5，4π/5）且产生100个该区间上的随机数，最后选取K（c）的中位数作为返回值K（c）［13］.

2　Verhulst种群模型混沌识别

Verhulst种群模型迭代式如下：

λ为种群的增长因子，根据不动点定理可知，在［0，2］上式有稳定的不动点1.对不同的增长因子λ，利用计算机生成500个对应的迭代序列，其分岔图形见图1.

图1　Verhulst模型分岔图Fig.1 The bifurcation diagram of Verhulst model

由分岔图不难发现，当1.800 0＜λ＜2.550 0时，系统的动力学形态呈现周期变化；当2.550 0 ＜λ＜3.000 0时，系统已经由周期倍化进入到混沌状态.事实上，2.570 0＜λ＜2.828 0时，系统几乎进入了混沌状态；2.828 0＜λ＜2.841 0时，系统周期倍化为3；λ=3.000 0时，系统完全进入混沌状态［2］.为了更精确的识别序列的混沌性，分别取λ=2.576 3、2.680 0、2.828 0、2.835 0和2.857 0，对每一组λ和N分别计算出对应的K（c）值，见表1.

表1　不同λ和N下的K（c）值Table 1 K（c）values of differentλand N

由表1可知，当λ=2.576 3时，随着N的不断增加，K（c）的值由0.257 8不断增加到0.700 3，说明系统开始从周期通向混沌状态，混沌性较弱；λ=2.680 0和2.828 0时，在N=500时，K（c）值已经超过0.99，K（c）值靠近1的速度明显大于前者，说明此时该系统已完全进入混沌状态；当λ=2.835 0时，随着N的增加，K（c）值越来越趋向于0，说明此时系统完全进入有序状态（3-周期）；当λ=2.857 0时，K（c）值又逐渐不断增加并趋近于1，即系统又由周期通向了混沌状态.

图2给出N=500，λ=2.576 3（弱混沌），λ =2.680 0（完全混沌）和λ=2.835 0（3-周期）的p-q（c=1.8）轨迹图，n-Mc（n）曲线图和c-K（c）散点图.

图2　Verhulst序列的0-1测试Fig.2 Verhulst series tested by 0-1 method

由图2知，λ=2.576 3时，系统为弱混沌状态，p-q轨迹图出现由有界走向杂乱的现象，n-Mc（n）图无明显增长趋势，c-K（c）图中K（c）的值稳定在0.18附近；λ=2.680 0时，系统为完全混沌状态，p-q图表现为近似布朗运动，Mc（n）随N线性增长，K（c）值趋近于1；λ=2.835 0时，系统为3周期状态，此时p-q轨迹图有界稳定，图像类似3个同心圆，这与系统为3周期相符，K（c）值分布在0附近，Mc（n）值分布散乱.

不同λ和N值下的0-1测试结果表明：当序列为周期序列时，K（c）值随着N的增加逐渐向0靠拢，p-q轨迹图完全有界且稳定；当序列为弱混沌状态时，随着N的增加，K（c）值总体趋势为增加的并不断向1靠拢，p-q轨迹图开始出现由有界走向杂乱的现象；当序列为完全混沌状态时，N=500时，K（c）=0.995 1，K（c）值趋近于1的速度明显大于前者，p-q轨迹图呈现近似布朗运动特性，Mc（n）随N线性增长.

3　含正态白噪声的Verhulst序列识别

在实际应用中，实验测得的数据往往含有一定程度的噪声，文献［12］研究表明0-1测试法也可应用于含噪声的时间序列的混沌识别，此时均方位移函数定义为

α用来控制0-1测试法对弱噪声和弱混沌的敏感性，选取α=0.1.设φ（j）是原始Verhulst序列，加入噪声后生成的时间序列为Y（j）：

其中，η（j）为含噪水平为5%的正态白噪声.分别取N=500，λ=2.576 3、2.680 0和2.835 0，应用0-1测试法进行混沌测试.

表2给出了含5%的正态白噪声的Verhulst序列在不同λ和N下的K（c）值，与表1相比较，K（c）值有微弱变化，但是并不影响序列是否具有混沌的特性，即λ=2.576 3时，序列依然呈较弱的混沌性；λ=2.680 0时，序列呈完全混沌；λ= 2.835 0时，序列仍为3-周期的.

表2　含噪声的不同λ和N下的K（c）值Table 2 K（c）values of differentλand N for noised data

图3是添加5%正态白噪声后，给出N=500，λ=2.576 3（弱混沌），λ=2.680 0（完全混沌）和λ=2.835 0（3-周期）的p-q（c=1.8）轨迹图，n-Mc（n）曲线图和c-K（c）散点图.当λ=2.576 3时，p-q轨迹图开始由有界走向杂乱，K（c）值靠近0.18，Mc（n）分布散乱，说明该序列仍表现出弱混沌性；在λ=2.680 0时，p-q轨迹图表现为近似布朗运动，Mc（n）随n有线性增长趋势，K（c）值分布在0.995 9附近，说明该序列有强混沌性；λ= 2.835 0时，p-q轨迹图仍有界，且Mc（n）随n无线性增长趋势，K（c）值趋近于0，说明该序列仍具有较强的周期性.3种序列在添加5%的正态白噪声后并不影响序列的混沌性，证明了0-1测试法有一定的抗噪声能力.

4　结 论

选取Verhulst种群模型生成的弱混沌、完全混沌、3-周期3种时间序列为研究对象，对不同的增长因子λ和数据长度N进行模拟，验证0-1测试方法的有效性和抗噪性.结果显示Verhulst序列的0-1测试结果和其分岔图相吻合.当序列为完全混沌时，Mc（n）随N有明显线性增长趋势，K（c）值趋近于1，p-q轨迹图近似布朗运动；当序列为弱混沌时，K（c）值随数据长度的增加在不断增大；当序列为3-周期时，K（c）值趋近于0，p-q轨迹图稳定有界，Mc（n）不随N线性增长，说明0-1测试法能有效识别混沌序列.进一步对含5%正态白噪声的Verhulst序列的K（c）计算后发现，其值的变化不大，说明0-1测试法具有良好的抗噪性和稳定性. 0-1测试法的计算速度快，时间成本低，直接作用于时间序列，克服了基于相空间重构混沌测试方法的主观性和不确定性.但0-1测试法也存在不能区分弱混沌强度的缺点.当需要识别混沌强度时，可以将此方法与传统方法相结合，先快速对混沌和非混沌序列进行筛选后，再用传统方法计算混沌指数，以减少计算量.

图3　含噪声的Verhulst序列的0-1测试Fig.3 Noised Verhulst series tested by 0-1 method

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【责任编辑：周 全】

Chaos identification of Verhulst population model series based on the 0-1 test algorithm

XIONG Xu-yuana，WAN Lia，b，LAI Jia-jinga
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

The 0-1 test method is a new method which the chaos of discrete time series can be determined by the condition that the discrete data transformation variable's linear growth rate K（c）approaches to 1 or 0.Three groups of time series（weak chaos，strong chaos and 3 period-doubling）are generated by classic Verhulst population model as the research object is to simulate different values of growth factorλand data length N，and test the efficiency anti-noise capacity of this method.The result shows that the 0-1 test method can effectively identify the chaos characteristics of the Verhulst series，the K（c）value of weak chaos series increases to 0.700 3 as the data length increased，and the K（c）value is approximate to 1 for strong chaos series and 3 period-doubling series'K（c）is close to 0.After adding white Gaussian noise（noise ratio=5%）to three time series，the corresponding K（c）value does not change greatly.This suggests that the low intensity noise does not affect its intrinsic nonlinear characteristics，and the 0-1 method has a certain resistance to noise.

0-1 test；chaos identification；Verhulst population model；normal white noise

O 415.5

A

1671-4229（2016）03-0024-06

2015-09-08；

2016-01-14

国家自然科学基金资助项目（41172295）

熊绪沅（1992-），男，硕士研究生.E-mail：xiongxuyuanxxy@sina.com

.E-mail：wanli@gzhu.edu.cn