一类新的空间扩散传染病模型的动力学行为

郭志明，王子子，彭华勤

（广州大学　数学与信息科学学院，广东　广州 510006）

一类新的空间扩散传染病模型的动力学行为

郭志明，王子子，彭华勤

（广州大学数学与信息科学学院，广东广州 510006）

建立一类新的由传染病引起严重疾病或并发症的传染病动力学模型.研究该模型平衡点的存在性和稳定性，运用Schauder不动点定理证明连接2个平衡点的行波解的存在性.该结果揭示了由无病情况发展为地方性疾病的一种变化轨迹，解释了当新的传染病爆发，导致疾病不能治愈的情况下，若不对患者做有效隔离，疾病将会蔓延这一现象.最后，通过数值模拟验证了此行波解的存在性.

传染病模型；平衡点；行波解；存在性；稳定性

1　背景与模型建立

有许多严重疾病是由一些普通的传染病引起的.比如乙肝会引起肝癌，感冒会引起荨麻疹、支气管炎、肺炎等.因此，在文献［1］中，笔者提出了一个关于传染病引起新的疾病的数学模型：

研究了上述模型无病平衡点和地方性平衡点的存在性、唯一性和稳定性，得到了该模型的基本再生数.考虑到人口的流动因素，本文对上述模型进行改进，考虑如下系统：

其中S，I，D分别表示易感人群类、已感染传染病人群类和已感染更严重疾病或并发症人群类.通常假设这种更严重的疾病或并发症不具有传染性、不可治愈并且对上述传染病终身免疫.它可以由长期不治愈的传染病转化而感染，也可以由易感人群直接感染.相应地，S（t，x），I（t，x），D（t，x）分别表示上述3类人群在时刻t、位置x的数量.Di＞0（i=1，2，3）分别表示S，I，D的扩散率，b为人口的出生率，d为人口的死亡率，r为健康人群由非传染病途径而获得严重疾病的概率，k为患者与正常人群的接触系数，u为传染病的治愈率，c为由传染病患者病变为更严重疾病患者的概率，α为预防系数［2］，所有系数都假设为正数. pS2（t，x）项反映人口增长有密度制约，如计划生育等政策，也就是说人口不可能无限制的增长.为方便起见，记a=b-d-r代表净增长率，并记β=c+d+u.

另外，为研究方便起见，假设x∈R R，即种群在一维空间扩散.本文主要讨论模型（1）的线性稳定性及行波解的存在性.关于行波解存在性的证明，主要有上下解与不动点方法［2-6］、打靶法［7-8］、单调迭代法［9］等.本文主要运用上下解方法和不动点方法来证明行波解的存在性.

2　平衡点的存在性及稳定性

注意到系统（1）中的第3个方程独立于其他2个方程，因此只需考虑由前2个方程组成的方程组：

为考虑系统（2）平衡点的存在性，令

容易知道，当I=0时，S=0或者S=a/p.因此必定存在2个平衡点E1=（0，0），E2=（a/p，0）.当I≠0时，由方程（3）得到

记方程（4）等式左边 P（I），则 P（I）是关于 I的二元函数.当P（0）＜0，即ak＞pβ时，方程（4）有唯一正解.令该正解为I3，带入方程（3）求得S3，此时系统（1）有唯一正平衡点E3=（S3，I3）.

方程（1）在平衡点E*=（S*，I*），*=1，2，3处的线性化方程为

线性化方程（5）存在非平凡解［6］

的充分必要条件是

即

定理1 平衡点E1是不稳定的.

证明 令平衡点E*=E1=（0，0），带入方程（6）知，W=Y=0.故对应特征方程为

断言至少存在1对（λ*，σ*）满足方程（7），其中，λ*＞0，σ*∈R R.事实上，设

由

知必然存在一个充分小的σ*使得

又由

故f（λ，σ*）=0有一个正根λ*，从而（λ*，σ*）是满足方程（7）的1对解.由微分方程定性理论知［10］，E0是线性不稳定的.

定理2 当ak＜pβ时，平衡点E2是局部渐近稳定的.

定理3 当ak≥p（c+u+d）且u=0时，平衡点E3是局部渐近稳定的.

证明 将平衡点E3=（S3，I3）带入方程（6）得

其中，

由于平衡点E3=（S3，I3）满足下列方程组：

现在只需验证W（c+d）+（2pS3-a）（β-Y）的符号.若2pS3-a＞0，则该项显然为正数；若2pS3-a＜0，由u=0知，

（c+d）（W+2pS3-a）=（c+d）pS3＞0.从而，A＞0，B＞0，则特征值λ均具有负实部.即平衡点E3是局部渐近稳定的.

3　行波解的存在性

由上面讨论可知，当u=0且ak≥p（c+d）时，E1是不稳定的，E3是局部渐近稳定的.因此可以考虑是否存在一条连接平衡点E1和E3的异宿轨线.这样的轨道也称为行波解.由于此系统是传染病模型，不满足拟单调条件，因此文献［9］的方法就失效了.故本节应用Schauder不动点定理和上下解的方法来证明u=0时行波解的存在性.

令S（t，x）=φ（x+vt），I（t，x）=ψ（x+vt），代入系统（1），其中系数v＞0为传播速度.再将x+ vt替换为t，得到如下方程组：

其中，

要求系统（10）满足以下边界条件的解：

现介绍系统（10）的耦合上下解概念.

和

和

其中，

通过直接计算可知，F的不动点就是系统（10）的满足边界条件（11）解，反之亦然.

由f1，f2在上的有界性和连续性，易得如下结论：

引理1 式（12）中定义的H1和H2有如下性质：如果对任意的t∈R R，有0≤φ2（t）≤φ1（t）≤M1，0≤ψ2（t）≤ψ1（t）≤M2，则

引理2 式（13）中定义的F1和F2有如下性质：如果对任意的t∈R，有0≤φ2（t）≤φ1（t）≤M1，0≤ψ2（t）≤ψ1（t）≤M2，则

寻找系统（10）在下面集合中的解：

显然，Δ是非空有界凸闭集.

相似地，当t≤0时，有

类似于文献［11］的证明可得：

引理4 F（Δ）⊂Δ，且F（Δ）是Δ上的紧集.

因此，有：

附注 做变量变换x=S1-S，y=I，通过类似的方法可以证明当 u=0，ak≥p（c+d）时，系统（1）存在另一条行波解连接平衡点E2到E3.

4　数值模拟及讨论

在图1中，取参数b=2，k=2，c=1，α=1，d =0.5，r=0.5，p=1，u=0，d1=1，d2=2，d3= 1.5，x在有限区域［0，1］上，并取Neumann边界条件，即对任意的 t＞0，x=0，1，有再取初值条件

计算得到a=1且ak＞p（c+d），u=0满足，地方性疾病平衡点为E3=（1.22，0.63，2.49）.下图描绘了从零平衡点E1到地方性疾病平衡点E3的非单调行波解，说明疾病在原始人群扩张中扩散的轨迹.

图1　连接E1到E3的非单调行波解Fig.1 Non-monotone traveling wave solution connecting E1and E3

在上述条件下，取初值S（0，x）=1.99，I（0，x）=0.01，D（0，x）=1.99，可得到连接无疾病平衡点E2=（2，0，2）到地方性疾病平衡点E3的行波解，见图2.

图2　连接E2到E3的行波解Fig.2 Traveling wave solution connecting E2and E3

本文建立了一类由传染病引起严重疾病或并发症的一个数学模型，并研究了该模型的线性稳定性.通过对平衡点的稳定性分析，证明当治愈率u足够大或有效接触率k足够小时，地方性疾病平衡点E3就不会出现；反之，减小染病患者与正常人群的接触（减小k）和提高治愈率u，可以使ak＜p（c+u+d），从而有效抑制传染病的传播.同时证明了当u=0，ak≥pβ时，存在2个行波解，分别连接平衡点E1和平衡点E3，以及无病平衡点E2和平衡点E3.第一个行波解反映了原始部落人口不断扩张时，感染传染病的人口数量的发展趋势.而第二个行波解的存在，解释了人口稳定部落中传染病的传播发展趋势.

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【责任编辑：周 全】

Dynamic behavior of a new epidemic model with spatial diffusions

GUO Zhi-ming，WANG Zi-zi，PENG Hua-qin
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

In this paper，a new epidemic model is established that the infected disease may lose infectiousness and then evolves to a chronic non-infectious disease or more serious disease when it is not cured within a certain time.The existence and stability of equilibria of the model are studied.The existence of traveling wave solutions connecting two equilibria are also proved by using Schauder fixed point theorem.It shows that the infectious disease can be turned to endemic disease.The main results explain the phenomenon that the infectious disease will spread eventually to the whole region when it is not controlled effectively.Finally，numerical simulations illustrate the existence of traveling wave solutions.

epidemic model；equilibrium；traveling wave solution；existence；stability

O 175.2，O 29

A

1671-4229（2016）03-0018-06

2016-01-14；

2016-03-09

国家自然科学基金资助项目（11371107）；教育部博士点基金资助项目（20124410110001）

郭志明（1966-），男，教授，博士生导师，博士.E-mail：guozm@gzhu.edu.cn.