小学数学教材中的数学史

江献

摘 要： 黄金分割在一些著名建筑、雕塑、名画及植物生长规律中都有所体现，我们身边随处都在彰显“黄金分割”的美妙。本文结合小学数学教材中“黄金分割”的介绍对“黄金分割”从起源到发展及生活中的应用进行整理和介绍。

关键词： 黄金分割 中末比 斐波那契数列

引言

人民教育出版社2014年3月出版的义务教育教科书数学在六年级上册第51页以“你知道吗？”的形式介绍了“黄金比”（图1），为了使小学一线教师在教学时能够更好地进行这一内容的教学，以下将对“黄金分割”从起源到发展及生活中的应用进行整理和介绍。

1.“黄金分割”的定义

把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，这个比值是=0.6180339……通常用希腊字母？准表示这个值。中世纪德国数学家、天文学家开普勒在《宇宙之秘》中写道：“‘毕达哥拉斯定理（勾股定理）和‘中末比是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。”[1]他用黄金形容勾股定理，用珠玉形容中末比，后来逐渐演变成用黄金形容中末比。

2.“黄金分割”的起源

2500多年前，古希腊的著名数学学派——毕达哥拉斯学派以正五边形的五条对角线构成的五角星形作为自己学派的标志。正五边形的五条对角线交点以一种特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比，这就是所谓的“黄金分割”。我们并不知道毕达哥拉斯学派是用什么方法求解黄金分割的，“黄金分割”这个名称也不是来自该学派[2]。最早在书中正式使用“黄金分割”这个名称的是德国数学家欧姆（1792-1872以欧姆定律闻名的G·S欧姆之弟），在1835年出版的第二版《纯粹初等数学》一书中，他首次使用了这一名称。到19世纪之后，这一名称才逐渐通行起来，成为现在人们所熟知的名称[3]。古希腊数学家欧多克索斯（公元前4世纪）从比例论的角度对这一问题加以研究和推广，并把这种分线段的方法叫做分线段成“中末比”[4]。公元前300年前后，欧几里得撰写《几何原本》时记载下了欧多克索斯的研究成果，这也是最早论述有关“黄金分割”的著作[5]。在该书第四卷记述了用黄金分割作正五边形、正十边形的问题。

3.斐波那契数列与“黄金分割”

4.“黄金分割”的应用

古希腊以来的美学家有一条公认的美学定律：符合黄金分割的平面图形或几何体是最美的。古希腊雅典的帕特农神殿就是按黄金分割建造的，其大理石柱廊高恰好占整个神殿高度的0.618。古埃及修建的胡夫金字塔，其高与底部正方形边长之比为0.62。埃菲尔建造巴黎大铁塔在比例上应用的也是黄金分割法[9]。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度比例是8：5，每一扇窗户的长宽比也是如此，这个比值接近于黄金分割比[10]。美籍华人建筑大师贝聿铭根据斐波那契螺旋溶古代建筑艺术与现代最新技术于一体设计的华盛顿国家艺术馆，该馆的每一个房间一年四季太阳都能照射到[4]。

美丽的女神维纳斯的雕像其下半身长与全身长的比值约为0.618[5]。健美身段的比例中有许多黄金分割比：头部以眼睛为界的上下比例，全身以肚脐为界的上下比例，肚脐以上部分以肩部为界的上下比例，手臂以肘部为界的上下比例等[11]。著名画家达·芬奇的油画《蒙娜丽莎》就完美地体现了黄金分割在艺术上的应用，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面的位置完美地体现了黄金分割，使得这幅油画看起来那么和谐和完美，使它成为一幅传世名作。报幕员报幕的时候应站在舞台宽度的0.618位置最佳[5]。

除此之外生活中常见的还有黄金矩形——宽和长之比为黄金分割比的特殊矩形，很多国家的国旗就是黄金矩形，电视机屏幕的形状就是近似黄金矩形。还有黄金三角形——底与腰的长度比为黄金分割比的等腰三角形，另外还有五角星形等。

“黄金分割”在我们的生活中可以说是无处不在，因此小学数学教师可以结合以上知识介绍“黄金比”这一史料，让学生善于发现生活中的数学，从而感受数学美。

参考文献：

[1]韩玉海，王立华.黄金分割及黄金图形[J].中学生数学，2006，2：6.

[2]李文林.数学史概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.2：37.

[3]韩雪涛.好的数学 数的故事[M].长沙：湖南科学技术出版社，2014，1：182.

[4]李如锦.“黄金分割”漫谈[J].天府数学，1999，11：80.

[5]李玉芳.0.618的文化内涵[J].天津职业院校联合学报，2011，5：68.

[6]朱家生.数学史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011，5：84.

[7]郑庆安，侯绍君.斐波那契数列与黄金分割的内在联系及应用[J].南阳师范学院学报，2008，12：36.

[8]马锐，罗兆富.数学文化与数学欣赏[M].北京：科学出版社，2015，6：142.

[9]张雄.黄金分割的美学意义及其应用[J].陕西教育学院学报，1998，3：63.

[10]张媛.美妙的“黄金分割”[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2006，4：32.

[11]可中.奇妙的“黄金分割”[J].初中生世界，2004，14：33.

基金项目：本文得到云南省教育厅科学研究基金项目（编号：2014Y431）的资助，在此深表谢意。