中、新、韩、日四国高中数学课程标准的比较研究

摘要：同为亚洲儒家文化圈的中、新、韩、日四国高中数学课程，由于相似的文化背景，具有较强的可比性。研究基于四国现行高中数学课程标准文本，以微积分内容标准为例进行比较分析，从内容设置、基本内容以及内容要求三个维度进行研究，进而提出以下建议：我国应在高中数学课程体系中适当增加微积分内容；应适当增加其中积分学内容；应适当增加课程广度、深度；应适当加深认知水平要求。

关键词：数学课程标准 微积分 内容标准 国际比较研究

一、问题的提出

自20世纪80年代后期以来，在不少主要国家的基础教育改革中，课程标准或教育标准几乎不约而同地被放到了一个突出位置上；“标准”一词一时间成了基础教育改革，尤其是课程改革的关键词[1]。其中，数学学科作为基础教育阶段的核心学科之一，在国际课程改革中常常首当其冲。数学本身的社会地位以及数学作为一门学科的自身特点，为关于数学的国际比较研究提供了内在的必要条件，数学教育国际比较也因此成为教育国际比较研究的重要领域[2]。

微积分在高中数学课程中有着重要的地位和作用。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段[3]。本文将中、新、韩、日四个国家高中数学课程标准文本中微积分内容标准作为研究对象，深入分析四国高中数学课程中微积分内容标准的异同，从而得出一定结论和启示，以期为我国已经启动的高中数学课程标准修订工作提供一定的参考。

二、研究设计

1.研究对象的选取

考虑到文化背景的相似性以及同为数学教育优质国家[4]，本文选取中国大陆、新加坡、韩国、日本四个国家现行的高中数学课程标准为研究对象。

其中，四国课程标准文本的选取如下：中国：2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》[3][5]。新加坡：2011年教育部发布的《数学教学大纲》[6]。韩国：2011年教育科学技术部发布的《数学教育课程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科学省发布的《高中数学学习指导要领》[8]。

为了行文方便，本文中用到以上文本时均简称为“某国标准”。

2.研究思路与方法

本文研究主要基于四国高中数学课程标准文本，针对其中微积分内容标准进行比较分析，寻找共性与差异，在国际视野下审视我国高中微积分内容的特点以及不足之处，进而在保持我国特色的基础上，借鉴经济发达国家以及数学教育高成就国家的优势，更好地认知自己，进而反思自己，促进我国数学教育的发展；主要采用文献、比较、内容分析等教育研究方法。

三、四国高中数学课程中微积分内容标准的比较与分析

1.内容设置的比较与分析

我国标准中将微积分内容设置在选修1-1的“导数及其应用”以及选修2-2的“导数及其应用”中。选修系列1是为那些希望在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，选修系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1、系列2内容是选修系列课程中的基本内容。其中，选修1-1“导数及其应用”包括：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题距离以及数学文化共5个主题；选修2-2“导数及其应用”在此基础上增加了“定积分与微积分基本定理”主题。

新加坡的大部分初等学院或中心学院都采用A-水平课程，学生可以灵活自主地进行课程选择。A-水平课程中的数学科目分为Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三个层次。H1教学大纲为希望学习诸如商业、经济和社会科学等大学课程的学生提供数学基础；H2教学大纲为学生学习包括数学、物理和工程的大学课程做好充分准备，要求更多的数学内容；H3数学教学大纲提供给在追求学科更好水平和更深程度方面具有天资和激情的学生一个机会。H1层次“微积分”包括：微分学、积分学；H2层次包括：微分学、迈克劳林级数、积分法、定积分以及微分方程；H3层次包括H2层次中的“微积分”以及“微分方程模型”。

韩国数学课程包括两个部分：第一部分是共同课程（从一年级到九年级），要求所有的学生必须学习相同的必修课程；第二部分是选择课程（高中一年级到三年级），可以学习有“基本、一般、深化”层次的课程内容，建立有区别的数学课程体系。每个选修科目相对独立。其中，微积分内容作为两个单独科目“微积分Ⅰ”、“微积分Ⅱ”设置在“一般科目”模块中，微积分Ⅰ是理解数学Ⅰ和数学Ⅱ课程内容的学生可以选修的模块；微积分Ⅱ是理解了微积分Ⅰ课程内容的学生可以选修的模块，适合于想升入大学学习以微积分内容为基础的自然系列（理科）或工学系列（工科）的领域的学生。另有部分内容设置在“深化课程”模块的“高级数学Ⅱ”中。

日本高中数学课程设置为：数学Ⅰ、数学Ⅱ、数学Ⅲ、数学A、数学B、数学应用。其中，微积分内容数学Ⅱ、数学Ⅲ科目中，数学Ⅱ是用来学习高中数学核心内容和培养广泛的数学资质和能力，在发展和扩充数学Ⅰ的内容的同时，又考虑进一步学习数学Ⅲ。数学Ⅲ是针对那些对数学有浓厚兴趣、欲进一步深入学习数学的学生以及将来从事需要数学专业的学生而开设。

综上所述，四个国家高中数学课程中微积分的内容设置大致都是分为两个层次：基础和深化层次。基础层次主要是针对今后准备在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列1-1、新加坡的H1课程、韩国的微积分Ⅰ课程以及日本的数学Ⅱ课程中的微积分内容；深化层次则主要是针对今后准备在理工等方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列2-2、新加坡的H2课程、韩国的微积分Ⅱ课程以及日本的数学Ⅲ课程中的微积分内容。值得一提的是，新加坡还专门针对“有数学天赋并对数学怀有热情的学生”而设置了H3课程。

2.基本内容的比较与分析

（1）基本内容分布概况

本文以各国标准文本中内容标准最小整句（内容条目）作为基本单位进行编码，从微积分内容在整个高中数学课程中的比重以及微积分内容在微分学、积分学以及其他三个方面的比重分别进行统计与分析。

一方面，四国标准中微积分内容在整个高中数学课程中的比重各不相同。

我国文科数学课程内容标准共有内容条目144条，其中微积分内容9条，占高中全部课程内容的6%；理科数学课程内容标准共有内容条目159条，其中微积分内容11条，占高中全部课程内容的7%。而其他三国中微积分内容比重最高的是新加坡H3课程，高达44%；比重最低的是日本课程，也达19%。由此可见，我国微积分内容在四国高中数学课程中比重明显偏少。

另一方面，四国标准中微积分内容在三个子内容领域（微分学、积分学、其他）中分布也各不相同。

可以发现：我国文科微积分内容中微分学比重最高（89%），同时也是唯一不包含积分学内容的；我国理科微分学比重仅次于文科比重（73%），积分学比重相比于其他三国也是最低的（9%）。对于其他三国而言，微分学比重最高的是韩国（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；积分学比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韩国（23%）。

进一步分析，我国微积分内容明显倾向于微分学，文科甚至不涉及积分学；而理科的积分学相比其他国家也为最少，虽然涉及到“其他”，也仅仅是有关微积分历史的数学文化类内容以及微积分基本定理。

（2）微分学的基本内容

导数的概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。我国标准选修1-1、2-2中的微积分内容均是以“导数及其应用”主题呈现的，包括导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题举例四个部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“导数的运算”中，1-1仅要求“能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=■的导数”，2-2除了要求上述四类函数，还要求简单三次函数y=x3以及无理函数y=■的导数。又如，在“导数在研究函数中的应用”中，2-2在1-1内容的基础上还增加了“体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性”。

新加坡标准H1课程中，微分学内容主要包括导数概念及其几何意义，函数y=xn、y=ex、y=lnx以及它们与常数的乘积、和、差的导数，求复合函数的导数，导数在研究函数中的应用，利用图形计算器求给定点处导数的数值解，导数的实际应用等。H2课程中，微分学内容要求比H1要高，较之H1增加了二次导函数大于0（小于0）的图释，导函数与原函数图像的关系；隐函数和含参数函数的求导等。H3中微分学内容由H2中相关内容组成，但是要求和严密性比H2更高一个层次。

韩国标准中微分学内容主要包括微积分Ⅰ中的数列的极限、函数的极限与连续、多项函数的微分法（导数、导数的应用）等，微积分Ⅱ中的指数函数与对数函数、三角函数的微分、微分法（各种微分法、导数的应用）等，高级数学Ⅱ中的微分的应用（柯西中值定理）、二元函数的极限和连续、偏微分及其偏微分的应用等。

日本标准中微分学内容主要包括数学Ⅱ中的微分系数与导数、导数的应用，数学Ⅲ中的极限（数列的极限、函数的极限）、导数（函数的四则运算的导数、复合函数的导数、三角函数·指数函数·对数函数的导数）、导数的应用等。

综上所述，四国均提及的基本知识包括：导数概念及其几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数、导数在研究函数中的应用等，都是围绕微分学核心概念“导数”的基础知识。我国微分学课程比较注重导数在生活中的应用，四国中仅有我国和新加坡在标准中有明文显示。然而，就内容广度、深度来说，我国微分学内容都不及其他三个国家。

（3）积分学的基本内容

我国标准中选修1-1没有积分学的相关内容；选修2-2提出“初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”，进一步要求“通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念”。

新加坡标准中H1课程积分学内容主要包括：幂函数、指数函数、对数函数的积分，积分的四则运算法则；简单复合函数的积分；定积分；定积分的计算；利用图形计算器求定积分的数值解等。H2、H3课程积分学内容主要包括：一些特殊形式的函数积分，积分方法（换元积分法、分部积分法）；定积分的概念；定积分的计算；含参数曲线所围面积的计算；旋转立体图形体积的计算；使用图形计算器求解定积分的数值解等。

韩国标准中积分学内容主要包括：不定积分的含义，积分的四则运算法则，穷竭法计算面积和体积，定积分的含义，不定积分与定积分的关系，定积分的应用（曲边图形的面积）；积分方法，定积分的应用（立体图形的体积）；极坐标方程表示的由曲线围成的领域的面积；旋转体的体积；旋转面的面积；瞬间、质量中心等。

日本标准中积分学内容主要包括：不定积分与定积分的含义、积分的四则运算法则、利用定积分求面积；积分方法；求曲线图形的面积和立体图形的体积以及曲线的长度等。

综上所述，我国文科没有积分学内容要求，理科要求仅仅在于“初步了解定积分的概念”。而其他三国均有的微分学基本内容包括：积分的四则运算法则，简单函数的积分，积分方法，定积分的概念及其几何意义，定积分的计算，旋转立体图形体积的计算等。就内容的广度和深度而言，我国积分学内容均不及其他三个国家。例如，新加坡标准还要求含参数曲线所围区域面积的计算，重视图形计算器的使用。韩国标准还要求极坐标方程表示的曲线围成的面积、旋转曲面的面积等内容。

（4）其他相关内容

本研究中的其他内容是指除了以上微分学、积分学内容之外的其他微积分相关内容。我国标准中其他相关内容主要是关于数学文化的要求（收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值）以及2-2中的微积分基本定理。

新加坡标准中其他相关内容主要包括迈克劳林级数和微分方程。韩国标准中其他内容主要包括级数、微积分基本定理以及微分方程。日本标准中其他内容主要包括无穷等比级数。

可以发现，我国课程的特点是注重数学文化在微积分课程中的渗透，在内容标准中明确提出了数学文化的要求。然而，涉及到其他相关内容的广度和深度的要求则较低，仅在2-2中提出了微积分基本定理。其他三个国家均在级数理论方面提出了要求，新加坡、韩国内容还涉及微分方程。

3.内容要求的比较与分析

本研究主要针对微积分课程目标领域中“知识与技能”部分根据行为动词，进行统计。为了方便比较与分析，以我国标准中对于认知水平的划分为基准，将其分为3个水平：知道/了解/模仿（A水平），理解/独立操作（B水平）、掌握/应用/迁移（C水平）。

注：新加坡标准仅以“内容要求”组织行文，并没有认知层面的要求。

可以发现，我国微积分内容A水平比重偏高（文科22%，理科36%），而韩国和日本都没有超过15%；同时，我国微积分内容C水平比重偏低（文科11%，理科9%），而韩国为17%，日本为33%。

四、思考与建议

首先，我国微积分内容应在高中数学课程体系中适当增加。微积分是全面认识数学价值的一个较好载体。随着科技的进步和社会的发展，我们都应对微积分基本思想有所了解。纵观新加坡、韩国、日本三国，微积分内容占高中数学课程内容最低的是19%，而我国仅占7%，从课程内容比例上有所失衡。

其次，我国微积分内容应适当增加其中积分学内容。积分学与微分学同为数学分析的分支学科，积分与导数一样，同为微积分的核心概念。我国文科微积分中不含积分学内容，理科微积分中积分学内容也仅占9%。仅仅是通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。纵观新加坡、韩国、日本三国，微积分中积分学内容最少的占23%，最多的占44%。其内容也涵盖了不定积分与定积分、积分方法、积分的应用等。

再次，我国微积分内容应适当增加课程广度深度。无论在课程广度还是深度上，我国微积分内容均在四国中偏低。例如，我国微分学主要涉及导数概念及其几何意义、基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则、导数在研究函数中的应用等围绕导数的基本知识，但是其他三国中还涉及到函数凹凸性的探讨，隐函数、含参数函数求导，甚至涉及到偏微分。又如，我国其他相关内容仅包括数学文化、微积分基本定理，但是其他三国中还涉及级数理论、微分方程等。

最后，我国微积分内容应适当加深认知水平要求。相比韩国、日本，我国A水平认知要求比重偏高，而C水平认知要求比重偏低。但是韩国、日本主要集中在B、C水平的认知要求上。

参考文献

[1] 柯森.基础教育课程标准及其实施研究[M].上海：上海教育出版社，2012.

[2] 吴晓红.数学教育国际比较的方法论研究[M].广州：广东教育出版社，2007.

[3] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[4] 严虹.中、新、韩、日四国高中数学课程目标的比较研究[J].外国中小学教育，2015（1）.

[5] 数学课程标准研究组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[6] Singapore Examinations and Assessment Board. Mathematics Syllabus [EB/OL].https：//www.seab.gov.sg/pages/nationalExaminations/PSLE/g

eneral_information.asp，2013/2014-11-03.

[7] 教育科学技术部.数学课程[M].（教育科学技术部第2011-361号文件分册8）.首尔：教育科学技术部，2011.

[8] 日本文部科学省.高等学校学习指导要领解说——数学篇[S].大阪：大阪书籍株式会社，2009.

[作者：严虹（1980-），女，江苏南京人，贵州师范大学副教授，现为北京师范大学在读博士生。]

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