平面三自由度欠驱动机器人末端的位置控制*

吴方朋，余跃庆

(北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院，北京　100124)



平面三自由度欠驱动机器人末端的位置控制*

吴方朋，余跃庆

(北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院，北京100124)

对平面3R欠驱动机器人末端的位置控制问题进行了研究,基于分层模糊控制思想，将欠驱动机器人的末端运动分解为沿x，y轴上的运动，根据两个运动变量分别与各个主动关节耦合的情况，制定简单的模糊控制规则，设计对应的糊控制器，第一个主动关节与第二个主动关节的控制力矩通过对两运动变量控制后的模糊控制器的输出变量进行加权求和得到。最后利用matlab与adams联合仿真以及实验，精确地实现了平面三自由度欠驱动机器人在操作空间中末端点到点的任意位置控制。结果表明，此方法在实现平面三自由度欠驱动机器人位置控制方面具有良好的效果。

欠驱动；位置控制；动力学耦合；模糊控制器；联合仿真

0　引言

欠驱动机器人是指机器人的某个或某些关节缺少驱动装置，即独立控制输入小于系统自由度。由于减少了系统的驱动数量，故欠驱动机器人具有重量轻，成本低，能耗低等优点，基于这些优点，其多用于太空、海底等对能源、重量有要求的场合，其所呈现出来的诸多优点引起了众多学者的关注，使这种机器人成为机器人研究领域的一个新热点[1-2]。

由于欠驱动机器人结构特点导致其系统具有二阶非完整约束特性，动力学模型中存在强耦合、高度非线性和参数不确定性等因素。与全驱动相比，对欠驱动系统的控制难度已经大大增加了，对全驱动系统的控制方法已经不适用于欠驱动系统，因此必须设计新的工具和方法。目前，对于实现欠驱动机器人特定任务的控制仍是一个新的课题，并没有通用的理论。Arai[3-4]运用反馈控制策略实现对平面3R欠驱动机器人的位置控制。DeLuca[5]分析了串联机械臂运动规划、轨迹跟踪的可行性，并用动力学反馈线性化的方法有效的解决了3R欠驱动机器人的运动规划问题。刘庆波等[6]基于模糊控制理论实现了2R和3R欠驱动机器人的位置控制，但是在对3R欠驱动机器人位置控制时，使第一关节按照特定的规律运动到期望位置，只有第二个关节单独耦合被动关节进行运动，这不是真正意义上的三自由度欠驱动机器人的位置控制，而且在进行末端点到点的位置控制时，其是先反解出一组对应期望位置的关节角，然后再进行控制，这种位置控制也不是真正意义上的末端点到点的位置控制，而且在执行操作任务中还具有很大的局限性。

为实现平面三自由度欠驱动机器人真正意义上的位置控制，本文对平面3R欠驱动机器人的位置控制问题进行了研究，建立研究对象的动力学模型，并对其特点进行分析。以模糊控制理论为基础，根据在实验台的手动经验总结模糊控制规则，设计模糊控制器，利用两个主动关节通过动力学耦合作用共同去控制被动关节，最后借助ADAMS虚拟样机和MATLAB的联合仿真以及实验对3R欠驱动机器人末端点的位置问题进行研究分析。

1　建立动力学模型

采用拉格朗日方法建立平面3R欠驱动机器人的动力学模型，平面3R欠驱动机器人的模型如图1所示，第一个关节与第二个关节装有驱动装置，为主动关节；第三个关节没有驱动装置，为被动关节。规定欠驱动机器人在水平面内运动，重力的影响可以不计。建立的动力学方程为：

(1)

M∈R3×3—质量惯性矩阵；

θ— 关节角度；τ—关节驱动力矩；

此系统方程可以化成如下形式：

(2)

从式(2)中可以看出，第三个关节的输入力矩为0，即第三关节没有输入力矩，处于自由状态，其加速度约束具有不可积性，即此机器人的运动受到二阶非完整约束满足Brockett条件[7]。

图1　3R欠驱动机器人

2　控制方法

模糊控制是一种以模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为数学基础的控制方法，它可以模拟人的思维，构造一种非线性控制，以满足复杂的、不确定的过程控制的需要，属于智能控制的范畴[8]。通过模糊控制算法可以将人们积累的经验描述成控制规则，不需要依赖于系统严密的数学模型，就可以达到让系统按照人的思维进行运行的目的。因此，可以基于模糊控制理论去设计控制器，利用模糊逻辑去表示动力学耦合作用，以此来完成对平面3R欠驱动机器人末端点的位置控制。

2.1控制原理

根据图1所示，θ1、θ2、θ3为三个关节的转角；l1、l2、l3为三个连杆的长度；M1、M2、M3为三个连杆的质量；d为机器人末端位置与期望位置相距的长度；Δx为机器人末端位置与期望位置相距在x方向上的长度；Δy为机器人末端位置与期望位置相距在y方向上的长度。规定各个转角的角度、角速度、角加速度逆时针为正，反之为负。设计分层模糊控制器对末端点A(x,y)的两个分量x和y分别进行控制，一层实现对x的控制，一层实现对y的控制，最后通过加权平均函数对控制过程中两个控制量进行加权求和，使其达到期望位置Ad(xd,yd)，控制原理如图2所示。

图2　控制原理图

具体控制过程如下：将两个主动关节的输入力矩τ1与τ2分开单独考虑，只计算τ1时，将杆1和杆2视为一个整体，将x和y作为输入变量反馈给控制器FLC1和FLC2，再经过加权平均函数FUN1进行加权求和得到主动关节1的输入力矩τ1；单独计算τ2时，将杆1视为静止状态，把x和y作为输入变量反馈给控制器FLC3和FLC4，再经过加权平均函数FUN2进行加权求和得到主动关节2的输入力矩τ2；最后通过动力学耦合作用共同对被动杆进行控制，使其末端点到达期望位置。

2.2模糊控制器的设计

模糊控制器主要有模糊化接口、知识库、模糊推理机和去模糊化接口四部分组成，模糊控制的基本结构框图如图3所示。

图3　模糊控制的基本结构

图3中yt为被控对象的输出量，yd为期望输入，e=yd-yt为误差，虚框内的部分即为模糊控制器的部分，它根据输入的误差信号e，经过模糊推理后产生合适的控制输出u应用于被控对象。对平面3R欠驱动机器人末端的位置控制，yt为机器人的末端位置坐标(x,y)，yd为期望位置坐标(xd,yd)，e=(xd-x,yd-y)为模糊控制器的输入变量，u=(τ1,τ2)为模糊控制器的输出变量。在控制的过程中，精确的输入变量e经过模糊化后，各变量就被量化到各自对应的模糊论域中。设定输入量xd-x与yd-y和输出量τ1与τ2的模糊论域均为(-3，3)，将模糊论域划分为“负大(NB)”、“负小(NS)”、“零(Z0)”、“正小(PS)”、“正大(PB)”5个模糊子集，即为{NB，NS，Z0，PS，PB}，为使控制结果具有较高的精度均采用灵敏度较高的三角形隶属度函数。

根据在实验台的手动经验总结出模糊控制规则：不同的位形参数下，系统的耦合规律不同。下面以耦合作用的基本单元二连杆为例将两杆的位形情况分成16种情况[9]，具体位形如图4所示。

图4　连杆的相对位形

其中，当两杆相对位置为(a)、(e)、(i)、(m)、(c)、(g)、(k)、(o)的情况时，记为flag=1，若两杆相对位置为(b)、(f)、(j)、(n)、(d)、(h)、(l)、(p)时，则记为flag=2。根据欠驱动机器人的手动控制经验可以总结出四个模糊控制器的模糊规则，模糊规则的形式采用“If…then…”的形式，具体的模糊规则可表示成形如“If Δx is NB and Flag is 1 then τ is PB”的10条模糊规则，如表1和表2所示。

表1　FLC1和FLC3控制规则表

表2　FLC2和FLC4控制规则表

由于模糊控制器的输出量仍为模糊量，因此需要对输出量进行去模糊化，将其转化为精确量。去模糊化采用精度较高的重心法[10]。

3　建立联合仿真系统

把MATLAB与ADAMS这两款软件结合起来进行仿真，利用Adams强大的建模与仿真环境，与Matlab强大的计算功能，可以实现机电一体化的联合仿真。

3.1建立仿真模型

利用SOLIDWORKS三维设计软件建立平面3R欠驱动机械手的三维几何模型，通过一定的格式转化将模型导入到ADAMS环境中，在ADAMS环境中对其添加约束和载荷，首先在基座与地面之间添加固定约束；然后在相邻两杆之间添加转动副；最后在靠近基座的两个转动副上添加力矩，最后一个关节上的转动副不添加力矩使其处于自由状态；考虑各关节摩擦力对运动控制的影响，在关节处添加阻尼器，采用粘性摩擦，数学模型如式(3)所示。

f=μθ·

(3)

式中，f为摩擦力矩，μ为粘性摩擦因数，θ·为关节角速度。

三维样机模型如图5所示。

图5　平面三自由度欠驱动机器人三维模型

系统的仿真物理参数如表3所示。

表3　仿真模型参数

表3中，mc1、mc2和mc3为分别为各连的质量，单位为kg；ma1、ma2和ma3分别为各连杆的集中质量，单位为kg；l1、l2和l3分别为各连杆的长度，单位为mm；μ1、μ2和μ3为各关节的摩擦系数。

3.2控制系统建模

确定输入输出变量后，ADAMS/Controls模块将生成三个文件，用于ADAMS和MATLAB之间的数据传递。根据控制原理，在Simulink模块中搭建模糊控制系统，系统图如图6所示。

图6　模糊控制系统框图

图6中，四个模糊控制器的输入变量是由3R欠驱动机器人的三个关节的角度位置以及杆长先经过运动学计算，再经过模糊化计算而得到，模糊控制器的输出量经过加权求和函数FUN1与FUN2计算后可得到平面3R欠驱动机器人两主动关节的控制力矩τ1和τ2。

3.3联合仿真及结果分析

机器人的操作任务为使末端点从初始位置A0(650,0)运动到期望位置Ad(350,300)，由联合仿真可得控制结果的仿真曲线如图7和图8所示。

图7　控制力矩曲线

图8　末端坐标误差曲线

图7为主动关节控制力矩曲线，从中可以看出，起始时，两主动关节的控制力矩很大，这是因为起始时末端位置与期望位置相距很远，需要对两主动关节加大力矩使末端快速趋向期望位置，在经过一段时间的控制后，两主动关节的控制力矩最终趋近于0，这说明经过一段控制时间后，末端位置与期望位置已经相距很近，而且两主动关节已经趋向于稳定状态。图8为末端沿坐标轴方向的误差曲线，经过称控制后的误差值仅为(0.19，0.17),误差曲线已经趋近于0，这说明经过控制后末端已经趋近于期望位置，并且已经处于稳定状态。仿真结果表明此控制方法精确地实现了机器人的操作任务。

4　实验研究

欠驱动机器人实验系统如图9所示，其主要由机械结构部分与电气控制系统组成。其中，机械结构部分有四个连杆通过转动副进行连接，各个转动副均采用直流伺服电机进行驱动。而且，在各个关节中还装有增量式编码器，用于对各关节所处位置进行实时监测，并反馈到控制处理器中。本实验只采用后三个连杆的运动，使第一个关节处于锁死状态。机器人的结构参数和仿真设定的值相同。

图9　欠驱动机器人实验控制系统组成

在控制器的选型上，采用具有高性能DSP和FPGA技术的固高科技(深圳)有限公司研制开发的GT-400-SV系列伺服运动控制器。它的每块卡可同步控制4个伺服/步进轴，这样就可以实现多轴协调工作。伺服采样周期可编程，四轴的最小插补周期为200μs，单轴点位运动最小控制周期为25μs。其提供C语言函数库(DOS环境)和动态链接库(windows环境)可以帮助实现主机与运动控制器的通讯。

4.1位置控制实验

此组实验的操作任务为，使欠驱动机器人的末端从初始位置(650,0)运动到期望位置(350,300)。进行此实验的控制系统框图如图10所示，在VC环境下进行离线编程，利用固高生产的GT400-SV系列运动控制器同步控制两主动关节的直流伺服电机，通过动力学耦合作用去控制被动关节。在控制过程中，通过编码器把各关节的位置信号反馈给实验台PC机，使其进行实时的运动学计算，以便确定出实时的控制电压。

根据前面所述的控制方法结合此实验控制系统框图，在VC环境下编制控制程序，对机器人末端位置运动进行控制。控制结果曲线如图11和图12所示。

图10　控制系统图

图11　主动关节的控制电压

图12　末端位置误差

图11为主动关节的控制电压曲线图，从起始到2.5s这一阶段为对末端点的初步控制，在经过这一阶段控制后末端点到达了期望位置的附近，在此阶段过后对主动关节加大电压以使末端点快速到达期望位置。图12为末端的位置误差曲线图，经过控制后末端点的位置稳定在了(351.20,301.79),与期望值的相对误差的最大值为0.6%。这说明采用此控制方法，本实验很好地完成了操作任务。

5　结论

主要针对平面三自由度欠驱动机器人末端点的位置控制进行了研究，利用两主动关节去耦合被动关节，设计分层模糊控制器以及确定加权求和函数，实现对平面3R欠驱动机器人末端的位置控制。最后利用MATLAB与ADAMS联合仿真以及实验进行验证，结果表明，利用此控制方法精确地实现了预期的操作任务。相比于前人所做的平面三自由度欠驱动机器人的位置控制，本文在真正意义上实现了平面三自由度欠驱动机器人的位置控制。本文实现的末端点到点的控制方法，为多自由度欠驱动机器人实现更加复杂的控制任务提供了一种行之有效的途径。

[1]MahhndrakerAD,RaoS,BanavarRN.Point-to-pointcontrolofa2Rplanarhorizontalunderactuatedmanipulator[J].MechanismandMachineTheory, 2006, 41(7):838 -844．

[2]MahhndrakerAD,BanavarRN.ReyhanogluM.Controlla-bilityandpoint-to-pointcontrolof3-DOFplanarhorizontallunderactuatedmanipulators[J].InternationalJournalofControl, 2005, 78(1):1-13．

[3]AraiH,KazuoT,NaojiS.Time-scalingcontrolofanunderactuatedmanipulator[C]//Proceedingofthe1998IEEEInternationalConferenceonRobotics&Automation.Leuven,Belgium:IEEE, 1998:2619-2626．

[4]AraiH,TanieKShiromaN.NonholonomiccontrolofathreeDOFplanarunderactuatedmanipulator[J].IEEETransactiononRoboticsandAutomation, 1998, 14(5): 681-695.

[5]DeLucaA,OrioloG.Motionplanningandtrajectorycontrolofanunderactuatedthree-linkrobotviady-namicfeedbacklinearization[C].SanFrancisco,CA,USA:IEEE, 2000.

[6]LiuQB,YuYQ,SuLY.Anewmethodforpositioncontrolofplanar3-DOFunderactuatedrobots[C]//7thWordCongressonIntelligentControlandAutomation.Piscataway,NJ,USA：IEEE, 2008：9049-9054.

[7]BrockettRW.Asymptoticstabilityandfeedbackstabilization,differentialgeometriccontroltheory[M].NewYork,USA:Birkauser: 1983: 181-191.

[8] 诸静. 模糊控制原理与应用[M]. 北京: 机械工业出版社, 1995.

[9] 刘庆波, 余跃庆, 苏丽颖, 等. 基于遗传算法的平面欠驱动机器人模糊控制[J]. 机械设计与研究, 2008, 24(5): 42-46．

[10]梁浩，余跃庆.基于模糊控制的3R欠驱动机器人轨迹跟踪研究[J].组合机床与自动化加工技术,2015(5):92-94．

(编辑李秀敏)

PositionControloftheEndpointofThree-DOFPlanarUnderactuatedRobots

WUFang-peng,YUYue-qing

(CollegeofMechanicalEngineering&AppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

Positioncontroloftheendpointof3Runderactuatedrobotsisinvestigatedinthispaper.Themotionoftheendpointisdecomposedintothemovementalongxandybasedontheideaofhierarchicalfuzzycontrol.Accordingtothepracticeandexperience,makethecontrolrulesoffuzzycontroller,anddesigncorrespondingfuzzycontroller.Thecontrolmomentofthefirstactivejointandthesecondactivejointisgotbytheweightedsumoftheoutputparametersofthehierarchicalfuzzycontroller.Atlast,usingtheco-simulationofMatlabandAdamsandexperimentachievethetippoint-to-point(PTP)positioncontrolofthe3Runderactuatedrobots.Theresultshowsthismethodhavegoodeffectontheaspectofachievingpositioncontrolofthree-DOFplanarunderactuatedrobots.

underactuated;positioncontrol;dynamiccoupling;fuzzycontroller;co-simulation

1001-2265(2016)08-0111-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.08.031

2015-09-07；

2015-09-28

国家自然科学基金资助项目(51175006)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20111103110002)

吴方朋(1990—)，男，河南濮阳人，北京工业大学硕士研究生，研究方向为欠驱动机器人控制，(E-mail)wufangpeng@emails.bjut.edu.cn；余跃庆(1958—)，男，北京人，北京工业大学教授，博士研究生导师，研究方向为机器人学、机构学，(E-mail)yqyu@bjut.edu.cn。

TH166;TG659

A