利用信息技术研究曲线的切线在函数中的应用

黄样球

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）19-0035-01

函数的思维是一种动态思维，函数的性质是中学数学的重点、难点所在，大多数学生在接受、理解和运用等环节都存在较大的困难。导数是一种工具，是研究函数性质的工具，能熟练掌握好导数的知识，并能应用到解决相关函数问题，会使得求解过程便捷、容易理解。对于导数模块知识中，导数的几何意义是其中一个重要的知识点。在曲线某点处的导数的几何意义是经过该点的曲线的切线的斜率，用式子表达为k=f'（x0）（其中k为切线的斜率，（x0，y0）为曲线上某一点），同时导数也是反映曲线在某一点处的变化速度的快慢。因函数是一个变化的动态过程，所以其导数也是一个变化的动态过程，通过运用信息技术可以把这种动态的变化过程进行直观化，把这个过程直接呈现在学生的面前，方便学生进行直观理解和应用。

导数是求解函数问题的一种工具，能灵活掌握和应用，可大幅提高解题的速度。结合在曲线某点处的导数的几何意义，涉及到曲线的切线问题，基本是优先考虑从导数入手思考解决问题的方法。根据函数的动态变化的本质特征，运用信息技术的手段，把抽象的理论问题转化为直观的图像进行理解，从而帮助我们更好地解决问题。因为导数与切线的内在联系，通过下面三个特例来分析如何利用信息技术来研究曲线的切线在解决相关函数问题中的应用。

例1、已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若f（x）≥ax，则a的取值范围是：

A、（-∞，0] B、（-∞，1] C、[-2，1] D、[-2，0]

分析：已知函数为分段函数，且在函数中不带有参数故函数的图像是固定的，因而审题后，作出函数f（x）的图像，从而得到函数y=f（x）的图像。要求解问题，必需要研究过原点的直线y=ax与函数y=f（x）的位置关系，并满足y=f（x）的图像始终在直线y=ax图像的上方，最多出现相切。对于直线y=ax中的参数a为直线的斜率，故问题可转化为过原点且与函数y=f（x）相切的问题，然后利用导数的几何意义求得函数y=f（x）在原点处的切线方程为l2：y=-2x。直线y=ax是过原点的直线束，利用信息技术把直线y=-2x绕原点旋转，当旋转到l1、l2时都不满足题意，因而得到a的取值范围为[-2，0]，故答案为D。

例2、设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=ln x-ln2上，则PQ的最小值为：

分析：根据已知条件作出函数y=2ex和y=ln x-ln2的图像，易知两个函数是互为反函数，图像关于直线y=x对称。问题可转化为一条曲线上的点到直线y=x的距离的最小值的2倍为所求。利用信息技术把直线y=x平移到直线l的位置且与曲线y=ln x-ln2相切，设切点（x0，y0），由导数的几何意义可知，k=f'（x0）==1，所以得x0=1，y0=ln 1-ln 2=-ln 2，所以PQ的最小值为2× 1+ln2）。答案为D。

例3、已知函数f（x）=x2+x+a，x<0ln x，x>0，若函数f（x）的图像在P、Q两点处的切线重合，则常数a的取值范围为：

A、（-2，-1） B、（1，2） C、（-ln2，+∞） D、（-1，+∞）

分析：根据已知条件作出函数f（x）=ln x的图像，并知函数f（x）=x2+x+a当x=0时，y=a因为函数f（x）=ln x为单调增函数，在点（1，0）处的切线方程为y=x-1，其与y轴交点为（-1，0）。

当a=-1时，直线y=x-1与曲线f（x）=x2+x+a（x<0）没有交点。利用信息技术手段展示f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的过程，同时函数f（x）=ln x的切线也变化。但要满足切线与f（x）=x2+x+a（x<0）有一个交点。当f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的过程中，始终存在函数f（x）=ln x的切线与它有一个交点，因而满足题意的a的范围为（-1，+∞）。答案为D。

曲线的切线是反映函数在某点处的变化速度的快慢，是研究函数变化的一种工具。函数的动态变化可以通过其切线变化来体现，变化的过程可通过信息技术手段呈现，可以直观展示其变化过程，从而方便对结论的理解，达到事半功倍的效果。在应用切线来解决问题的时候要充分理解下面三个知识点：

（1）对导数的几何意义的充分理解及灵活掌握。

（2）能准确求出在曲线某点（x0，y0）处的切线方程。

（3）能准确求出过某点（a，b）的曲线的切线方程。

信息技术能把动态的变化过程直观展示，使理论变成直观，对信息技术的灵活使用，能丰富我们的课堂教学，同时也能让我们的学生对知识的理解变得更容易、更直观，课堂的教学效果更显著。