试论偏微分方程数值解中块迭代解法的应用

【摘要】本文从偏微分方程定解出发，通过对不同方法的比较，给出最佳解决方法，对偏微分方程的数值求解同时的依赖于离散方法、线性代数方程组的求解，以大型稀疏方程组的系数矩阵的块结构性质为例，提出将ILU用于求解一类线性代数方程组，结果证明，将两种方法结合到一起能够有效解决此类问题，与其它方法相比，是能够为偏微分方程提供最优参数的最佳方法。

【关键词】偏微分方程 块迭代 应用

【中图分类号】O241.82 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）19-0021-01

在现代科学技术工程中涉及到许多数学模型，在这其中有很多数学名都能够用偏微分方程进行描述，不仅如此，在工程技术、物理方面也能够推导出偏微分方程。总的来说，在现代数学中，偏微分方程是非常重要的一个内容。这不仅体现在理论方面，在现实中的应用也十分广泛，比如在流行病学、控制过程、化工循环系统等方面均有着非常广泛的应用。由于偏微分方程在解决这些问题的时候充分考虑到了时滞、时间以及空间方面等多种的因素的影响，所以才能将实际情况反映出来，对偏微分方程的应用进行研究的具有十分重要的理论意义和现实意义。

一、基本迭代法

在求解偏微分方程的时候，一般可以分为两个阶段：首先是将偏微分方程离散化，将其转化成代数方程组；然后对转化后的代数方程组进行求解。求解偏微分方程的这两个步骤是相辅相成的。原因在于在求解偏微分方程数值时，最终的精度取决于离散方法的采用。因此，在求解的过程中，应当将这两个步骤看成一个整体，或者说，这两个步骤本身就是一个整体。求解代数方程组能够大大推动差分格式的研究，与此同时，对差分格式的研究对代数方程组的迭代法也有一定的借鉴作用[1]。

线性方程组：Ax=b （1）

在对此线性方程组进行求解时有两种方法可供选择，一种是直接法，另一种就是本文所研究的迭代法。上世纪六、七十年代主要采用的是直接法。所谓直接法，简单来说就是通过变换系数矩阵，将原方程转化成比较容易求解的三角或者是三对角等形式，最后再通过顺代法或者是回代法等得到方程组的解，比较常用的系数矩阵变换方法有QR分解法、LU分解法等等。在精确运算的前提下，直接法能够将任何非奇异的问题求解出来，但是该方法只对中小规模的稠密系统如（1）是有效的，但是对于特殊情况下，比如A的很多元素都是零或者是A的阶数非常大，那么在求解的过程中就需要耗费大量时间。

迭代法是在算子A对某些向量的重复作用上发展而来的。上世纪中期，人们对在计算机上利用迭代法求求线性方程组的近似解展开研究，由此，研究出了许多迭代法，在求解这类方程组时发挥了重要作用。无论是哪种迭代法，它们都有一个共同的特点就是以矩阵分裂和算子的重复利用为基础，然后逐渐逼近近似解。在这里我们需要指出，如果系数矩阵A是对称正定而且相容次序相同，那么最好选择逐次超松弛迭代法。从实际角度来说，按照某一条件划分，具有某一性质的系数矩阵A在合理的重排次序下，就能够将其整理成一个红黑排序矩阵。如果一个矩阵是红黑排序的，那么它也一定会拥有相容性质和相容持续。（2）表示的是方程（1）逐次超松弛迭代觉着呢的特征值和Jacobi方法迭代矩阵的特征值的关系：

如果A是对称正定的，那么B的特征值就一定是小于1 的实数，这就是逐次超松弛迭代方法的最优松弛因子[2]，其中ω为参数，我们可以将其表示为：

二、块ILU分解

计算线性代数方程组的不完全分解预条件，较为常用的方法就是采用高斯消元法对系数矩阵进行分解时，采取有效方法将分解过程中产生的填充去除，这样一来，预条件矩阵M—Lu就很容易得到了，其中L和u表示的都是近似分解因子。填充的去除方法有许多标准，在这里不一一介绍。对于方程系数矩阵A，用P表示非对角位置F标集，得到A=LU—N。L和U分别是一个单位的下三角和上三角。还有一种的方法是通过填充的数值大小来确定。首先我们需要同定一个正数，如果产生填充的绝对值大于a，选择保存。但是这种方法有一个很明显的缺陷就是无法事先选择一个好的a。在去除填充的时候也会遇到许多问题，比如我们根本无法预测不完全分解的因子需要多少空间存储。为了解决这一问题，提出了双重标准，这也是去除填充的第三个方法。固定一个a和p。在每完成一步消元时，小于a的填充就会被去除；对保存下来的填充，按照从大到小的顺序，最多能够保存p个。在这种方法下得到的预条件矩阵为ILUT。为了使ILU方法适合向量计算和并行处理，块ILU分解也逐渐到了人们越来越多的关注。块ILU分解简单来说就是将块作为分解的最小单元，包括对主对角块求近似逆。

在现代数学中，偏微分方程是非常重要的一个内容。这不仅体现在理论方面，在现实中的应用也十分广泛，比如在流行病学、控制过程、化工循环系统等方面均有着非常广泛的应用。由于偏微分方程在解决这些问题的时候充分考虑到了时滞、时间以及空间方面等多种的因素的影响，所以才能将实际情况反映出来，对偏微分方程的应用进行研究的具有十分重要的理论意义和现实意义。

三、一类线性方程组考虑线性方程组：Ax=b

目前的偏微分方程的求解得到了越来越多学者的关注，在积极研究的过程中形成了许多求解方法。通常情况下，偏微分方程问题的数值的方法有两类，一个是通过引进新的变量将其转化为一阶常微分方程组再进行求解，但是方程维数是原来的2倍；另一个是构造直接计算的数值格式，这就是我们所说的块基本迭代法。

四、块基本迭代法

我们可以通过构造一个收敛的方程组解的序列解求解线性方程组，迭代公式为：

如果p-1，可以将迭代公式表示为：

XK+1=GX（K）+f

其中，X、G、f均为矩阵。

定义1：设A为系数矩阵并且存在非奇异矩阵M，M为分裂矩阵，若x？鄢是（I—G）x—f的解而且也是Ax—b的唯一解，那么称p阶迭代法是相容的。

定义2：若p阶迭代法得到的序列满足条件X（n）=x？鄢，？坌x（0）∈Rn，则迭代法收敛，否则为发散。

在现代数学中，偏微分方程是非常重要的一个内容。这不仅体现在理论方面，在现实中的应用也十分广泛，比如在流行病学、控制过程、化工循环系统等方面均有着非常广泛的应用。由于偏微分方程在解决这些问题的时候充分考虑到了时滞、时间以及空间方面等多种的因素的影响，所以才能将实际情况反映出来，对偏微分方程的应用进行研究的具有十分重要的理论意义和现实意义。

参考文献：

[1]刘荣花.块迭代解法在偏微分方程数值解中的应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2010（3）.

[2]徐华.块迭代解法在偏微分方程数值解中的应用[J].福建广播电视大学学报，2009（5）.

作者简介：

吐克孜·艾肯（1985-），女，维吾尔族，新疆喀什市人，新疆大学计算数学硕士，就职于巴音郭楞职业技术学院，研究方向：偏微分方程数值解。