高阶非线性复微分方程组的亚纯允许解

金　瑾,黄　雕,蹇　敏

(1.贵州工程应用技术学院数学系,贵州毕节　551700;2.贵州民族大学理学院,贵州贵阳　550025)



高阶非线性复微分方程组的亚纯允许解

金瑾1,黄雕2,蹇敏2

(1.贵州工程应用技术学院数学系,贵州毕节551700;2.贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025)

利用亚纯函数的Navanlinna值分布理论和方法,研究了一类高阶代数微分方程组的亚纯解.在亚纯解存在的条件下,证明关于此类方程组的一个不等式.

代数微分方程组;亚纯函数;允许解;Nevanlinna理论;值分布

1　引言及主要结果

关于微分方程组的允许解问题,很多作者已经做了大量工作,得到了一批很好的结果[1-7],本文继续这一问题的研究，有关Nevanlinna值分布理论的通常概念与符号可见文献[1-18].

本文研究非线性微分方程组

(1)

亚纯解的存在性，其中

定义1设(w1,w2)是微分方程组(1)的亚纯解,S(r)为微分方程组(1)的所有系数的特征函数之和,即

定理1设(w1,w2)是微分方程组(1)的零级亚纯允许解,且

则

2　预备引理

引理1[1]设函数f(z)为复平面上的超越亚纯函数,则对任意的正整数k都有

引理2[2]设w(z)为非常数的零级亚纯函数,q∈C-{0},则在一对数密度为1的集合上的所有r,有

引理3设函数f(z)为复平面上的超越亚纯函数,c1和c2为常数,则对任意的正整数k都有

证明因为函数f(z)为复平面上的超越亚纯函数,c1和c2为常数,所以由引理1、2可得

故

引理4设函数f(z)为复平面上的亚纯函数,k是任意的正整数且f(0)≠0,f(i-1)(0)≠1,f(i)(0)≠0(i=1,2,…,k),则有N(r,f(k))≤kN(r,f).

证明已知f(k)(z)和f(k-1)(z)以且仅以f(z)的极点为它们的极点.若当f(z)以某点z0为j(j≥1)重极点时,f(k-1)(z)以点z0为k+j-1重极点,f(k)(z)以点z0为k+j重极点,从而

即

由归纳法,对任意的正整数k有

引理5[3]设函数f(z)为零级亚纯函数,k是任意的非零常数,则在一对数密度为1的集合上的所有r,有

引理6设w1和w2都是零级亚纯函数,{ai(z)}是w1和w2的小函数,如果

则

证明由

可知

因此

由引理3得

(2)

同理可得

(3)

(4)

(5)

下面估计N(r,Ω).由引理4和引理5可知

故

(6)

同理

(7)

(8)

(9)

因此由(2)～(9)式可得

引理7[4]设

是关于w(z)的不可约的有理函数,系数{ai(z)},{bj(z)}是亚纯函数.如果w(z)是亚纯函数,则

3　定理1的证明

定理1的证明由已知和引理5可得

即有

(10)

(11)

由已知和引理6可得

T(r,R1(z,w1))=max{p11,q11}T(r,w1)+

(12)

T(r,R2(z,w2))=max{p22,q22}T(r,w2)+

由微分方程组(1)和(10)～(13)式可得

(14)

(15)

由(14)和(15)式可得

(16)

(17)

由(16)和(17)式即得

故定理1得证.】

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[4]高凌云.具有允许解的代数微分方程组的形式[J].系统科学与数学,2004,24(1):96.

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[7]高凌云.具有允许解的代数微分方程组的形式[J].系统科学与数学,2004,24(1):96.

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[15]金瑾.关于亚纯函数φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(6):1.

[16]金瑾.单位圆内高阶齐次线性微分方程解与小函数的关系[J].应用数学学报,2014,37(4)：254.

[17]金瑾.一类高阶齐次线性微分方程的亚纯解与其小函数的复振荡[J].工程数学学报,2014,31(3):399.

[18]金瑾.高阶非线性代数微分方程组的可允许解[J].安徽师范大学学报(自然科学版),2014,37(2):114.

(责任编辑马宇鸿)

Meromorphic admissible solution of systems of higher order nonlinear complex differential eguations

JIN Jin1,HUANG Diao2,JIAN Min2

(1.Department of Mathematics,Guizhou University of Engineering Science,Bijie 551700,Guizhou,China;2.College of Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,Guizhou,China)

Using the Navanlinna value distribution theory and method of meromorphic function,meromorphic solution for a class of higher order algebraic differential equations is studied.In the presence of such equations existing meromorphic solution,an inequality on such equations is given.

algebeaic differential equation system;meromorphic function;admissible solution;Nevanlinna theory;value distribution

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.02.006

2014-11-26;修改稿收到日期:2015-03-27

贵州省科学技术基金资助项目(2010GZ43286,2012GZ10526)；贵州省毕节市科研基金资助项目([2011]02)

金瑾(1962—)，男，贵州大方人，教授，硕士研究生导师.主要研究方向为复分析.

E-mail:jinjin62530@163.com

O 174.52

A

1001-988Ⅹ(2016)02-0024-05