可数半连续格的序同态

周　莉，姜广浩，周　玲（.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 35000；.崇阳县第一中学，湖北 咸宁 437500）

ZHOU Li1，JIANG Guanghao1，ZHOU Ling2（1.School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China；2.Chongyang No.1 Middle School，Xianning 437500，Hubei Province，China）

可数半连续格的序同态

周莉1，姜广浩1，周玲2
（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.崇阳县第一中学，湖北 咸宁 437500）

摘要：引入半素可数极小集的概念，并研究它的若干性质及内部刻画.此外，借助半素可数极小集给出可数半连续格序同态的一个内部刻画，推广了相关文献的结果.

关键词：可数半连续格；半素可数极小集；序同态

ZHOU Li1，JIANG Guanghao1，ZHOU Ling2
（1.School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China；
2.Chongyang No.1 Middle School，Xianning 437500，Hubei Province，China）

1　引言与预备知识

由于Scott、Lawson、Plotkin等的重要工作，连续格及其推广引起了人们的广泛兴趣［1-2］.文献［3］基于半素理想子集系统，借助半素理想将way-below关系“≪”推广到了二元关系“⇐”，进而引入了一种新的类型格——半连续格，推广了连续格.此后，许多学者对半连续格进行了深入研究，得到一系列成果.文献［4］在完备格上引入了半素极小集的概念，给出了半连续格的2个序同态扩张定理，进而将文献［2］中关于连续格的序同态扩张定理推广到了半连续格的情形.随着研究的进一步深入，文献［5］借助可数定向集从另一角度推广了连续格的概念，引入了可数连续格的概念，并且得到其与连续格很多类似的性质.文献［6］借助可数定向极小集得到了可数连续格序同态的一个内部刻画.文献［7］借助半素可数理想引入了可数半连续格的概念，讨论了它的一些基本性质，进而推广了半连续格与可数连续格.本研究引入半素可数极小集的概念，并研究它的若干性质及内部刻画；此外，借助半素可数极小集给出可数半连续格序同态的一个内部刻画，推广了文献［4］和［6］中的相关结果.

定义1［5-6］设L是一个完备格，a、b∈L.如果对于L中任意一个可数定向集D，b≤sup D，存在d∈D，满足a≤d，则称a可数way-below b，记作a≪cb.

定义2［7］设L是一个完备格，Ic⊆L是可数理想，若∀x、y、z∈L，当x＞y∈Ic，x＞z∈Ic时，有x＞（y＜z）∈Ic，则称Ic为L的半素可数理想.

Rdc（L）表示所有半素可数理想构成的集合.

定义3［7］设L为完备格，定义关系⇐c如下：x、y∈L，x⇐cy⇔∀I∈Rdc（L），当y≤sup I时，有x∈I.

记⇓cx=｛y∈L|y⇐cx｝.

定义4［7］设L为完备格，若∀x∈L，x≤sup⇓cx，则称L为可数半连续格；若∀x∈L，x=sup⇓cx，则称L为强可数连续格.

命题1［7］设L是可数半连续格，则关系⇐c具有插入性质，即∀x、y∈L，若x⇐cy，则∃z∈L，使得x⇐cz⇐cy.

命题2［7］若L是强可数连续格，则L是可数连续格.

定义5［7］设L1、L2为完备格.

（1）映射f：L1→L2称为保半素可数理想的，若f保序，且∀I∈Rd（cL1），有↓（fI）∈Rd（cL2）.

（2）映射f：L1→L2称为保半素可数理想并的，若f保序，且∀I∈Rd（cL1），有（fsup I）=sup （fI）.

定义6［7］设L1、L2为完备格，映射f：L1→L2称为保⇐c的，如果∀x、y∈L1，x⇐cy，有（fx）⇐c（fy）.

定义7［7］设L1、L2为可数半连续格，保序映射f：L1→L2称为是序同态的，若f保半素可数理想并和⇐c关系.

2　主要结论

定义8设L为完备格，a∈L，B∈Rd（cL）.称B 为a的一个半素可数极小集，若以下条件成立：

（1）a≤sup B；

（2）∀I∈Rd（cL），若a≤sup I，则∀b∈B，∃i∈I，使得b≤i，即B⊆↓I.

命题3设L为完备格，a∈L，B∈Rd（cL），则有

（1）B是a的一个半素可数极小集⇔a≤sup B，且B⊆⇓ca；

（2）若a存在半素可数极小集，则最大半素可数极小集为B（a）=⇓ca.

证明（1）设B为a的半素可数极小集，且I∈Rd（cL），a≤sup I，由定义8知，∀b∈B，∃i∈I，使得b≤i.又I为下集，故b∈I.因此，由定义3有b⇐ca. 故B⊆⇓ca.

反之，设a≤sup B，且B⊆⇓ca，设I∈Rd（cL），且a≤sup I.由B⊆⇓ca，有∀b∈B，b⇐ca，故b∈I，从而B⊆I⊆↓I，即B是a的半素可数极小集.

（2）若a存在半素可数极小集，由（1）可知a≤sup B≤sup⇓ca，故a≤sup⇓ca，又由（1）知⇓ca是a的半素可数极小集.显然⇓ca是a的最大半素可数极小集.

推论1设L为完备格，a∈L.a存在半素可数极小集⇔a≤sup⇓ca.

推论2设L为完备格.∀a∈L，a存在半素可数极小集⇔L是可数半连续格.

定义9映射f：X→Y称为保半素可数极小集的，若∀a∈X，当B是a的半素可数极小集时，（fB）是（fa）的半素可数极小集.

定理1设X是可数半连续格，Y为强可数连续格，f：X→Y保半素可数理想，则以下条件是等价的：

（1）f保半素可数极小集.

（2）∀a∈X，↓（f⇓ca）是（fa）的半素可数极小集.

（3）f是序同态的.

证明 （1）⇒（2）：由于X是可数半连续格，∀a∈X，⇓ca是a的（最大）半素可数极小集，故↓（f⇓ca）是（fa）的半素可数极小集.

（2）⇒（3）：由条件知，∀a∈X，有f（⇓ca）⊆⇓c（fa），故f保⇐c.又Y为强可数连续格，从而（fa）= sup⇓c（fa）=sup （f⇓ca）.设I∈Rd（cX），记a=sup I，则由命题4有

因此，f保半素可数理想并，由定义7知f为序同态.

（3）⇒（1）：设a∈X，且B是a的半素可数极小集，则a≤sup B，且B⊆⇓ca，由f保⇐c，有（fB）⊆f（⇓ca）⊆⇓c（fa）.又f是保半素可数理想的，则有↓（fB）∈Rd（cY）.再由f是保半素可数理想并的，有sup （fB）=（fsup B）≥（fa）.故由命题3的（1），知（fB）是（fa）的半素可数极小集.

定理2设X是可数半连续格，Y是强可数连续格，映射f：X→Y保⇐c，∀a∈X，令f（*a）=sup（f⇓ca），则f*是取值不大于f的最大的序同态.

证明先证明f*是保半素可数理想并的.显然f*是保序的，设I∈Rd（cX），记a=sup I，由命题4有

故f*保半素可数理想并.

再证明f*保⇐c.设a、b∈X，且a⇐cb.因为X是可数半连续格，由命题1有，∃z∈X，使得a⇐cz⇐cb，从而z∈⇓cb.又由f*的定义，有（fz）≤sup （f⇓cb）= f（*b），即（fz）≤f（*b）.∀x∈⇓ca，由于f保⇐c，故有（fx）⇐c（fa）⇐c（fz），又Y是强可数连续格，由命题2 知Y是可数连续格，故（fx）≪c（fa）⇐c（fz），即（fx）≤（fa）⇐c（fz），从而有

因此有f（*b）⇐cf（*b）.

最后证明f*是最大的.由上面的证明可知f*≤f. 设g是序同态，且g≤f，则∀a∈X，有

即g≤f*，这说明f*是最大的.

参考文献：

［1］ GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous Lattices and Domains［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003.

［2］覃锋.连续格的序同态［J］.江西师范大学学报：自然科学版，2000， 24（2）：126-130. QIN F.Homomorphisms of the continuous lattices［J］.Journal of Jiangxi Normal University:Natural Science Edition，2000，24（2）：126-130（in Chinese）.

［3］ZHAO D.Semicontinuous lattices［J］.Algebra Universalis，1997，37：458-476.

［4］康建平，徐晓泉.半连续格的半素极小集与序同态扩张［J］.模糊系统与数学，2012，26（2）：142-146. KANG J P，XU X Q.Semiprime minimal sets of semicontinuous lattices and homomorphic extensions［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2012，26（2）：142-146（in Chinese）.

［5］陆志军，尤飞.可数连续格与局部Lindelöf空间［J］.徐州师范大学学报：自然科学版，2008，26（3）：57-60. LU Z J，YOU F.Countable continuous lattices and local Lindelöf spaces ［J］.Journal of Xuzhou Normal University:Natural Science Edition，2008，26（3）：57-60（in Chinese）.

［6］占诗源，姜广浩.可数连续格的序同态［J］.淮北师范大学学报：自然科学版，2014，35（2）：7-9. ZHAN S Y，JIANG G H.Homomorphisms of the countable continuous lattices［J］.Journal of Huaibei Normal University：Natural Science，2014，35（2）：7-9（in Chinese）.

［7］周莉，姜广浩，占诗源.可数半连续格［J］.佳木斯大学学报：自然科学版，2016，34（1）：10-13. ZHOU L，JIANG G H，ZHAN S Y.Countable semicontinuous lattices［J］. Journal of Jiamusi University:Natural Science Edition，2016，34（1）：10-13（in Chinese）.

（责任编校马新光）

第一作者：周莉（1990—），女，硕士研究生.

中图分类号：O189.1；O153.1

文献标志码：A

文章编号：1671-1114（2016）01-0014-03

收稿日期：2015-04-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11361028，11001001）；安徽高等学校省级自然科学研究重点资助项目（KJ2013A236）.

通信作者：姜广浩（1973—），男，副教授，主要从事一般拓扑学方面的研究.

Homomorphisms of countable semicontinuous lattices

Abstract：The concept of semiprime countable minimal set is introduced and examined.And then its some intrinsic characterizations are given.In addition，an intrinsic characterization of homomorphisms of the countable semicontinuous lattices is obtained by semiprime countable minimal sets.These theorems generalize corresponding results in reference.

Keywords：countable semicontinuous lattice；semiprime countable minimal set；homomorphism