围绕核心知识点对梳理材料力学课程结构主线条的研究

胡玮军

（邵阳学院 机械与能源工程系，湖南 邵阳　422000）

围绕核心知识点对梳理材料力学课程结构主线条的研究

胡玮军

（邵阳学院 机械与能源工程系，湖南 邵阳422000）

通过对材料力学课程中核心知识点“平面假设”的深入分析，阐述了课程结构中的主线条。在推导基本变形公式时，遵循主线条，统一方法，从运动规律去揭示变形规律，从运动形式去判断内力性质，将动力学原理与变形原理紧密结合在一起，这种教学方法使学生比较容易理解变形协调关系，对基本变形中的应力分布性质会有更深入的理解。

材料力学；平面假设；应力；变形；位移

材料力学课程体系复杂，理论深入、公式众多，历来是学生感到比较难学的一门课程。笔者在长期的教学实践中逐渐认识到提炼出课程的核心理论，并由此核心部分通过归纳、演绎，建立课程的结构框架，梳理出课程主线条，提高学生对课程的整体认知和把握，这种教学方法对提高教学质量是非常有帮助的。

材料力学中的许多公式都是基于平面假设而推出来的，对于细长杆而言，在此基础上推导出来的公式，其精确度可以满足工程一般要求，由于平面假设简化了横截面各点之间的变形协调关系，使得推导横截面应力公式大为简化，故在材料力学现有课程体系中，平面假设是一个贯穿整个课程的知识点，是课程的核心理论。笔者在教学实践中，突出强调平面假设在课程结构中的核心作用，将各种基本变形进行类比，在推导基本变形公式时，统一方法，梳理出课程的主线条——从运动规律去揭示变形规律，从运动形式去判断内力性质，将动力学原理与变形原理紧密结合在一起，这种教学方法使学生比较容易理解变形协调关系，对基本变形中的应力分布性质有更深入的理解。

1　平面假设的内涵

平面假设是指杆在受力产生变形时，杆的横截面上各点始终保持为一个平面。杆在承受载荷时，位移通常是比较复杂的情形，而平面假设理论的提出，可以大大简化各点的变形协调关系，成为材料力学各应力公式推导的关键环节。笔者在课堂教学对基本变形的公式推导中，始终围绕从横截面的运动特点出发，进而推理出作用在横截面上的力的性质，引导学生从力与运动之间的动力学规律去理解位移及变形，再利用平衡方程推导出应力公式。

2　变形与位移

变形和位移的概念容易混淆。变形是指弹性体在外力作用下产生尺寸和形状的变化。位移是指物体（质点）空间位置的变化。物体中各质点在外力等因素作用下必将产生相应位移（在变形体力学中通常不考虑刚体的位移）。由于约束的存在，各质点的位移必将受到某种限制，即位移要满足变形协调关系，变形和位移往往是不同的，这种协调关系通常是非常复杂的。

3　弹性体变形的基本规律

首先定义作用在杆件上的力为广义力，它可以是一个力、一个力偶、一对力或一对力偶，其产生的位移定义为广义位移，可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移。

对于材料力学中研究的线弹性体而言，力和变形之间的关系符合胡克定律，即：

其中F为广义力，δ为广义位移，C为弹性体的刚度。在不同的变形形式中，广义力、广义位移以及弹性体的刚度的具体定义有所不同而已。

4　横截面在杆件基本变形中的运动分析

根据平面假设，杆件的变形是由于横截面产生了相对位移，并且在位移过程中各点始终位于同一个平面。下面具体分析几种基本变形中的情况：

（1）轴向拉伸（压缩）变形中，受一对拉力（或压力）作用，横截面产生相对平移，其上各点产生的位移是相同的，因而各点所处新的位置仍能保证在一个平面上。由理论力学动量守恒原理可以确定，由于横截面是平移运动，横截面内力向形心简化只会得到一个主矢（力），而没有主矩（力偶）存在，则式（1）中的广义力即为轴力。因而在横截面上也只可能存在一种应力（正应力），且在横截面上是均匀分布的，由平衡方程可以简单表示为：F=σA。

则拉压变形应力公式为

轴向拉压变形中正应力与正应变的关系为σ=Eε，由式（2）即可推出式（1）中广义位移即为应变（相对变形）ε，而刚度定义则为。

（2）扭转变形中，杆件受到一对作用线与杆轴线平行的相对力偶作用，从实验观察中可以确定横截面产生了绕轴线的转动。由动力学动量矩守恒原理知道物体产生转动是由于有力偶（且只能是力偶）的作用，横截面上内力向形心简化就只得到一个轴线方向的力偶（扭矩），即知式（1）中的广义力为扭矩。由于杆的轴向长度没有发生变化，故在横截面上不可能存在正应力，只有切应力存在。同一横截面上各点转角大小和转向是相同的，因而切应力的分布应该与点到圆心的半径成正比，并且对形心产生的转动是同向的。切应力在横截面上对圆心产生的力矩合成结果就是作用在横截面上的扭矩，即平衡方程为

图1　扭转变形

从图1微元扭转变形中可以看出，横截面扭转角与切应变的关系为，应力应变关系为т=Gγ，将上述关系代入式（4），如果令，扭转变形切应力公

式为：

比较式（1）和式（4），则可得广义位移，扭转刚度为。

（3）平面纯弯曲变形中，梁受到一对作用线与梁轴线垂直的相对力偶作用，导致横截面产生相对于某条与轴线垂直的直线（中性轴）的相对转动，横截面上分布内力（应力）只能合成简化为一个中性轴方向的力偶，即知式（1）中的广义力为弯矩。由于要使横截面上各点转动时始终保持在同一个平面上，各点绕中性轴转动的转角是相等的，则应力方向只能垂直横截面，且在中性轴两侧是反向的，即横截面上只能存在正应力且位于中性轴两侧的应力方向是相反的，因而各点的位移与到中性轴的距离成正比。横截面上正应力合成为绕中性轴转动的弯矩，弯曲变形的平衡方程为：

图2　弯曲变形

由图2微元的变形图中可以得出：d=（Δx）=ydθ，线段的应变为，由应力与应变的关系可得：σ=Eε=Ey，即可推出。将上述等式代入式

综上所述，从平面假设出发，杆在载荷作用下产生的变形，是由于横截面的运动所导致的。轴向拉伸（压缩）时横截面产生平行移动，各点产生相同线位移，故只有正应力存在。扭转和弯曲变形时，横截面发生的是转动，但是转动轴有所不同，扭转时的转动轴是杆的轴线，各点是在原平面内转动，轴线方向没有线位移，只有在原平面上存在角位移，故只有切应力存在；弯曲时横截面的转动轴是中性轴，各点变形后所在的平面偏离了原平面，与原横截面平面产生了一个转角，因而各点在轴向方向上有线位移，而原平面形状没有变化，故只产生正应力而没切应力。

利用平面假设去分析推导各种基本变形的应力分布和计算公式的思路是相同的，即首先确定横截面的运动；再由此推断横截面上的内力性质，横截面平移则内力合成为一个力，若横截面转动则内力合成为一个力偶；最后根据横截面运动特点，分析各点位移的协调关系，利用胡克定律将物理关系代入，可推出各种变形的应力计算公式，这是材料力学课程中最基本的方法，也是课程的主线条。这种方法不光在推导基本变形公式中采用，而且可以运用到实际问题中，对工科学生来说比较容易理解，也容易构建课程体系的整体结构，学生普遍反映采用这种方法进行教学效果良好。

［1］刘鸿文.材料力学玉［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］胡玮军，周东一.试论理论力学中的两条主线［J］.中国电力教育，2013，（263）.

Around Core Knowledge Point to Sort out Main Structure of the Course of Mechanics of Materials

HU Wei-jun
（Department of Mechanical and Energy Engineering，Shaoyang College，Shaoyang，Hunan 422000，China）

Through ana1ysis of the core know1edge point of hypothesis of p1ane mechanism'in mechanics of materia1s course，this paper exp1ains the main structure of the course.When deducting the basic deformation formu1a，fo11owing the main structure，exposing deformation ru1e from the motion ru1e，judging interna1 force property from motion form and combining princip1e of dynamics with deformation princip1e makes it easier for the students to understand the stress distribution nature.

mechanics of materia1s；hypothesis of p1ane mechanism；stress；deformation；disp1acement

G642

A

2095-980X（2016）03-0100-02

2016-01-22

本文系2014年邵阳学院专业综合改革试点教学改革研究专项（2014ZJG06）的研究成果。

胡玮军（1967-），女，湖南邵阳人，副教授，主要研究方向：工程力学。